[論文レビュー] Semidefinite relaxation of multi-marginal optimal transport for strictly correlated electrons in second quantization

Yuehaw Khoo, Lin Lin+2 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

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ひとこと要約

本稿は、第二量子化されたフェルミ粒子系の厳密に相関した電子（SCE）極限における多準拠最適輸送（MMOT）問題を解くための半定値計画法（SDP）緩和を提案する。2-および3-準拠に制約を課すことにより、$2L \times 2L$ の半定値制約を持つ多項式時間計算が可能となり、SCEエネルギーのタイトな下界が得られ、緩和されていないMMOT結果と一致する。さらに、双対達成性が証明され、Kohn-Sham DFTにおける自己無撞着場反復が可能になる。

ABSTRACT

We consider the strictly correlated electron (SCE) limit of the fermionic quantum many-body problem in the second-quantized formalism. This limit gives rise to a multi-marginal optimal transport (MMOT) problem. Here the marginal state space for our MMOT problem is the binary set $\{0,1\}$, and the number of marginals is the number $L$ of sites in the model. The costs of storing and computing the exact solution of the MMOT problem both scale exponentially with respect to $L$. We propose an efficient convex relaxation which can be solved by semidefinite programming (SDP). In particular, the semidefinite constraint is only of size $2L imes 2L$. Moreover, the SDP-based method yields an approximation of the dual potential needed to the perform self-consistent field iteration in the so-called Kohn-Sham SCE framework, which, once converged, yields a lower bound for the total energy of the system. We demonstrate the effectiveness of our methods on spinless and spinful Hubbard-type models. Numerical results indicate that our relaxation methods yield tight lower bounds for the optimal cost, in the sense that the error due to the semidefinite relaxation is much smaller than the intrinsic modeling error of the Kohn-Sham SCE method. We also describe how our relaxation methods generalize to arbitrary MMOT problems with pairwise cost functions.

研究の動機と目的

• フェルミオン系の厳密に相関した電子（SCE）極限における正確な多準拠最適輸送（MMOT）の指数的スケーリングを解決すること。
• SCE機能とその勾配の効率的計算を可能にするMMOT問題の凸緩和を開発すること。
• スレーターの条件が満たされない状況下でも、半定値緩和における双対達成性を保証し、Kohn-Sham DFTにおける自己無撞着場反復を可能にすること。
• スピンなしおよびスピン付き Hubbard 型モデルにおける本手法の正確性とスケーラビリティを実証すること。

提案手法

• 二値状態空間 $\{0,1\}$ とペアワイズコスト $C_{pq}(s_p,s_q) = v_{pq}$（$s_p = s_q = 1$ のとき）を持つ多準拠最適輸送（MMOT）問題としてSCE機能を定式化する。
• 2-準拠に必要な制約を課すことにより凸緩和を提案し、$2L \times 2L$ の制約行列を有する半定値計画法（SDP）を得る。
• 3-準拠の制約を導入することで、最適コストの下界をより高めるよりタイトな緩和を実現する。
• 厳密に実行可能な原始点が存在しないにもかかわらず、SDPにおける双対達成性を証明し、自己無撞着場（SCF）反復に必要な有効ポテンシャルの存在を保証する。
• 双対SDPを解き、カントロビッチ双対ポテンシャルを取得する。これにより、Kohn-Sham DFTにおけるSCFサイクルに必要なSCEポテンシャルが得られる。
• 任意のペアワイズコスト関数を有する一般のMMOT問題へと緩和フレームワークを一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SCE極限におけるMMOT問題の凸緩和を定式化することで、格子サイト数 $L$ の指数的スケーリングを回避できるか？
• RQ2 $2L \times 2L$ 制約行列を有する半定値緩和が、Hubbard型モデルにおけるSCEエネルギーに対してタイトな境界を与えるか？
• RQ3 スレーターの条件が成立しない場合でも、SDP緩和における双対達成性を確立できるか？
• RQ4 SCE形式におけるモデリング誤差を考慮した場合、SDP緩和が正確なMMOT解をどの程度正確に近似するか？
• RQ5 SDPの双対解が、Kohn-Sham DFTにおける自己無撞着場反復に必要な有効ポテンシャルを構築するために利用できるか？

主な発見

• 提案された $2L \times 2L$ 半定値制約を有するSDP緩和により、正確なMMOTの指数的スケーリングを克服し、SCE機能の多項式時間計算が可能になる。
• 数値結果から、2-準拠および3-準拠のSDP緩和が、緩和されていないMMOT解と同等の下界を達成しており、SCEフレームワークにおけるモデリング誤差を考慮しても顕著である。
• 厳密に実行可能な原始点が存在しないにもかかわらず、SDPにおける双対達成性が厳密に証明され、SCF反復に必要な有効ポテンシャルの存在が保証される。
• SDPの双対解は、Kohn-Sham形式におけるSCEポテンシャルを構築するために必要なカントロビッチポテンシャルを提供し、自己無撞着場サイクルを可能にする。
• 緩和フレームワークは、ペアワイズコスト関数を有する任意のMMOT問題へと一般化可能であり、特定のSCE設定を超えて広範な応用性を有する。
• 本手法は、スピンなしおよびスピン付き Hubbard 型モデルの基底状態エネルギーを、高い正確性と計算効率で的確に計算するのに成功している。