[論文レビュー] Semidefnite Relaxation Bounds for Indefinite Homogeneous Quadratic Optimization

Simai He, Zhi‐Quan Luo+2 more|ArXiv.org|Jan 2, 2007

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、不定な同次二次最適化問題に対する半定計画法（SDP）緩和のタイトな近似バインディングを確立する。最小化問題において1つの不定制約を持つ場合、実数の場合のSDP緩和ギャップは$O(m^2)$で有界であり、複素数の場合には$O(m)$で有界である。一方、最大化問題においてすべての制約のうち1つを除き正定値である場合、ギャップは$O(1/\log m)$で下界にあり、先行研究を改善し、明示的な例を通じてタイトさを示している。

ABSTRACT

In this paper we study the relationship between the optimal value of a homogeneous quadratic optimization problem and that of its Semidefinite Programming (SDP) relaxation. We consider two quadratic optimization models: (1) $\min \{x^* C x \mid x^* A_k x \ge 1, x\in\mathbb{F}^n, k=0,1,...,m\}$; and (2) $\max \{x^* C x \mid x^* A_k x \le 1, x\in\mathbb{F}^n, k=0,1,...,m\}$. If \emph{one} of $A_k$'s is indefinite while others and $C$ are positive semidefinite, we prove that the ratio between the optimal value of (1) and its SDP relaxation is upper bounded by $O(m^2)$ when $\mathbb{F}$ is the real line $\mathbb{R}$, and by $O(m)$ when $\mathbb{F}$ is the complex plane $\mathbb{C}$. This result is an extension of the recent work of Luo {\em et al.} \cite{LSTZ}. For (2), we show that the same ratio is bounded from below by $O(1/\log m)$ for both the real and complex case, whenever all but one of $A_k$'s are positive semidefinite while $C$ can be indefinite. This result improves the so-called approximate S-Lemma of Ben-Tal {\em et al.} \cite{BNR02}. We also consider (2) with multiple indefinite quadratic constraints and derive a general bound in terms of the problem data and the SDP solution. Throughout the paper, we present examples showing that all of our results are essentially tight.

研究の動機と目的

• 不定な同次二次最適化問題に対するSDP緩和の近似品質を分析すること。
• 正定値行列から不定行列への先行のバインディングを拡張すること。
• 最小化および最大化の両形式について、タイトな最悪ケース近似比を確立すること。
• Ben-Talらによる最大化問題の近似S-lemnマを改善すること。
• ランダムに生成されたインスタンスにおける数値実験を通じて理論的バインディングを検証すること。

提案手法

• トレースおよび正定値錐制約を用いて、最小化および最大化形式の同次二次計画問題に対するSDP緩和を導出する。
• 元の最適値とSDP緩和の最適値との比を有界にするための最悪ケース解析を適用する。
• SDP解から妥当な解を抽出するために確率的ラウンディングを用い、経験的近似品質を推定する。
• 理論的バインディングのタイトさを示すために、明示的な最悪ケース例を構築する。
• 平均ケース性能を評価するために、各設定で1,000個のランダムインスタンスを用いた数値実験を実施する。
• QR分解とランダムな対角成分を用いて、さまざまな定義性（正定値、ランク1、不定）を持つ行列を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの不定制約を持つ同次二次最小化問題の最適値とそのSDP緩和との間の最悪ケース近似比は何か？
• RQ2 1つ以上の$A_k$行列が不定である場合、制約数$m$に応じて近似比はどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 $C$が不定で、1つの$A_k$のみが不定である場合、最大化問題における近似S-lemnマのバインディングを改善できるか？
• RQ4 不定制約が、最小化および最大化両形式におけるSDP緩和バインディングのタイトさに与える影響は何か？
• RQ5 ランダムに生成されたインスタンスにおいて、経験的近似比は理論的最悪ケースバインディングとどのように異なるか？

主な発見

• 1つの不定制約を持つ最小化問題において、実数の場合のSDP緩和ギャップは$O(m^2)$で有界であり、複素数の場合には$O(m)$で有界であり、これらのバインディングはタイトである。
• 複数の制約が不定である場合、近似比は無限大になり得るため、1つの不定制約を持つケースが本質的に最良の状況であることが示された。
• すべての制約のうち1つを除き正定値である$A_k$と不定な$C$を持つ最大化問題において、SDP緩和ギャップは$O(1/\log m)$で下界にあり、以前の$O(\log(n^2m))$のバインディングを改善した。
• 本稿で構築された明示的な最悪ケース例を通じて、理論的バインディングのタイトさが示された。
• 数値実験の結果、経験的近似比は最悪ケースバインディングよりも著しく優れており、特に1つの制約のみが不定である場合に顕著であった。
• 経験的結果は、不定制約の数が増えるほど性能が劣化することを確認しており、理論的予想と整合的であった。