[論文レビュー] Semifields, relative difference sets, and bent functions

Alexander Pott, Kai‐Uwe Schmidt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 29被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、有限体上における可換半体、相対的差集合、および平面関数の間の包括的な同等性を確立し、特に偶数の特徴的条件下で、平面写像の成分関数がネガベント関数およびZ₄値ベント関数に対応することを強調している。この研究は、差集合の特徴的理論的解析を通じて、有限幾何学と暗号理論における代数的構造を統合する。

ABSTRACT

Recently, the interest in semifields has increased due to the discovery of several new families and progress in the classification problem. Commutative semifields play an important role since they are equivalent to certain planar functions (in the case of odd characteristic) and to modified planar functions in even characteristic. Similarly, commutative semifields are equivalent to relative difference sets. The goal of this survey is to describe the connection between these concepts. Moreover, we shall discuss power mappings that are planar and consider component functions of planar mappings, which may be also viewed as projections of relative difference sets. It turns out that the component functions in the even characteristic case are related to negabent functions as well as to $\mathbb{Z}_4$-valued bent functions.

研究の動機と目的

• 可換半体、相対的差集合、および有限体における平面関数の間の深い同等性を明確化すること。
• 相対的差集合の射影が、奇数および偶数の特徴的条件下でベント関数に対応する成分関数をどのように得るかを調査すること。
• 偶数の特徴的条件下で、Z₄値ベント関数とネガベント関数の関係を探索すること。
• 代数的数論および差集合論のツールを応用して、半体に関する新しい研究を促進すること。
• 非Dembowski-Ostrom型の平面関数に関連する未解決問題、および差集合を通じた射影平面内の部分構造の幾何的解釈を特定すること。

提案手法

• Knuthの軌道を用いて、可換半体をシンプレクティック半体および平面関数に関連付ける。
• 特徴的理論的条件を適用して、部分集合が相対的差集合である条件を特定し、特にG = Z₄ⁿまたは初等アーベルp群の形の群において有効である。
• F_q → F_q である平面関数f: F_q → F_q を定義し、そのグラフR = {(x, f(x))} が、特定の特徴的条件下で、G = F_q × F_q におけるN = {(0,y)} に関する相対的差集合を形成することを示す。
• 標準的双線形形式および特徴χ_a(z) = (-1)^⟨a,x⟩ および γ(z) = i^{w(x)}(-1)^y を用いて、ネガベント関数の条件 |∑_x (-1)^{⟨x,a⟩+f(x)} i^{w(x)}|^2 = 2^m を導出する。
• 定理7.3を適用して、Z₂^m 内のベント関数から、Z₄ × G 内の相対的差集合を構成し、G = Z₂^m のとき F₂^{m+1} 上のネガベント関数を得る。
• 平面写像の成分関数を相対的差集合の射影として分析し、それが奇数特徴的条件下ではp-値ベント関数、偶数特徴的条件下ではネガベント関数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体における可換半体、相対的差集合、および平面関数の間の正確な同等性は何か？
• RQ2 特徴2の下で、非Dembowski-Ostrom型の平面関数は存在可能であり、それらは相対的差集合とどのように関係するか？
• RQ3 Z₄ⁿ 内の相対的差集合と関連して、Z₄値ベント関数とネガベント関数の関係は何か？
• RQ4 デルガスカン射影平面の部分構造は、平面関数またはZ₄^m 内の相対的差集合を用いて自然に記述可能か？
• RQ5 アーベル群に含まれる相対的 (p^m, p^m, p^m, 1) 差集合のランクの上限をどのように改善できるか？

主な発見

• 奇数特徴的条件下では、平面写像の成分関数は、相対的差集合の射影として生じるp-値ベント関数である。
• 偶数特徴的条件下では、成分関数は、|∑_x (-1)^{⟨x,a⟩+f(x)} i^{w(x)}|^2 = 2^m という特徴的和の条件によって示されるように、ネガベント関数と同等である。
• Z₄値ベント関数は、Z₄ × G 内の相対的差集合と同等であり、したがってネガベント関数とも同等である。
• 定理7.3の構成により、G 内の2つのベント集合から、Z₄ × G 内の相対的 (2|G|, 2, 2|G|, |G|) 差集合を構成でき、G = Z₂^m のとき F₂^{m+1} 上のネガベント関数が得られる。
• 奇数特徴的条件下でDembowski-Ostrom型でない平面関数の例は1つ以上知られているが、特徴2の下では同様の例はまだ知られていない。
• 相対的差集合の環境群は、奇数特徴的条件下では初等アーベル群であるが、偶数特徴的条件下ではZ₄ⁿであるため、根本的な構造的差が生じる。