[論文レビュー] Semifinite spectral triples associated with graph C*-algebras

Alan L. Carey, John Phillips+1 more|ArXiv.org|Jul 26, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、従来のトレースが失敗する、特にクンツ代数に注目して、グラフC*-代数の半有限なスペクトル三重項を構成する。KMS状態を用いたモジュラーユニタリとねじれた循環コホホロジーを導入することで、忠実なトレースが存在しない状況でも非自明な不変量を回復する、新しいインデックスペアリングを確立し、$ (n-1)·\mathbb{Z}[1/n] $における明示的なスペクトルフロー計算を含む、新しいねじれた局所的インデックス公式を提示する。

ABSTRACT

We review the recent construction of semifinite spectral triples for graph C^*-algebras. These examples have inspired many other developments and we review some of these such as the relation between the semifinite index and the Kasparov product, examples of noncommutative manifolds, and an index theorem in twisted cyclic theory using a KMS state.

研究の動機と目的

• 忠実なトレースが存在しない特定のC*-代数（例えばクンツ代数）における、標準的なスペクトル三重項構成の障害を解消すること。
• トレースの代わりにKMS状態とねじれた循環コホホロジーを用いた、半有限インデックス理論の枠組みを構築すること。
• 忠実なトレースのない代数に対して、'モジュラー $K_1$' とエータ補正付きスペクトルフローを導入することで、非自明なインデックスペアリングを確立すること。
• von ニーマン代数的道具と $QC^k$ 正則性を用いて、コンネス＝モスコビチの局所的インデックス定理を半有限な設定に一般化すること。
• ねじれた循環コホホロジーと半有限なスペクトル三重項を用いて、非可換多様体のための新しい不変量を提供すること。

提案手法

• von ニーマン代数 $\mathcal{N}$ 上の忠実な正規半有限トレース $\tau$ を用いて、グラフC*-代数の半有限なスペクトル三重項 $({\mathcal{A}}, {\mathcal{H}}, {\mathcal{D}})$ を構成する。
• 導分 $\delta(T) = [|{\mathcal{D}}|, T]$ を用いた $QC^k$ 条件を適用し、スペクトル三重項の十分な正則性を保証する。
• モジュラー自己同型 $\sigma$ と可換であり、$\mathcal{D}$ のスペクトル射影 $Q$ に対して $uQu^* \in \mathcal{M}$ を満たすモジュラーユニタリ $u$ を導入する。
• 文献[4]のスペクトルフロー公式を適用し、エータ型補正を用いてスペクトル非対称性を補正する。モジュラー条件の下では、これらの補正項が相殺され、インデックスペアリングが正しく定義される。
• Dixmierトレース $\phi_{k,\omega}$ を用いた残留公式 $\lim_{r\to 0} r\, \phi_k(a_0[\mathcal{D}_k,a_1](1+\mathcal{D}_k^2)^{-1/2-r})$ を用いて、ねじれた $b,B$-コホホロジーを定義する。
• モジュラーユニタリ $u_v$ に対して、機能 $\frac{1}{2}\phi_{k,\omega}(u_v[\mathcal{D}_k,u_v](1+\mathcal{D}_k^2)^{-1/2})$ を用いて、新しいインデックスペアリングを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 忠実なトレースが存在しない状況で、グラフC*-代数の半有限なスペクトル三重項をどのように構成できるか？
• RQ2 KMS状態とモジュラー自己同型は、忠実なトレースのない代数に対して非自明なインデックスペアリングを定義する上で果たす役割は何か？
• RQ3 スペクトルフローとねじれた循環コホホロジーは、半有限な設定においてどのように作用し、新しい不変量を生み出すか？
• RQ4 新しい $K$-理論的群、'モジュラー $K_1$' の構造は何か？ そして、ねじれたコホホロジーとどのようにペアリングされるか？
• RQ5 トレースが存在しない状況で、半有限な局所的インデックス定理は、コンネス＝モスコビチの定理をどのように一般化するか？

主な発見

• モジュラーユニタリ $u_v$ を用いたスペクトルフロー $sf_{\phi_k}(\mathcal{D}_k, u_v\mathcal{D}_k u_v^*)$ は、$\frac{1}{2}\phi_{k,\omega}(u_v[\mathcal{D}_k,u_v](1+\mathcal{D}_k^2)^{-1/2})$ として与えられ、非自明なインデックスペアリングをもたらす。
• クンツ代数 $O_n$ に対して、インデックスペアリング $sf_{\phi_2}(\mathcal{D}_2, u\mathcal{D}_2 u^*)$ は $ (|\mu| - |\nu|)\left(\frac{1}{n^{\vert\nu\vert}} - \frac{1}{n^{\vert\mu\vert}}\right) \in (n-1)\mathbb{Z}[1/n] $ に評価され、$\mathbb{R}$ の稠密部分群に属する非自明な値をとる。
• 関数 $\lim_{r\to 0} r\, \phi_k(a_0[\mathcal{D}_k,a_1](1+\mathcal{D}_k^2)^{-1/2-r})$ はねじれた $b,B$-コホホロジーを定義し、循環コホホロジーを半有限な設定に拡張する。
• スペクトルフロー公式におけるエータ補正項は、モジュラーユニタリの下で相殺され、ユニタリが代数 $\mathcal{M}$ の外にあるにもかかわらず、正しく定義されたインデックスペアリングを可能にする。
• モジュラー $K_1$ は、トレースが存在しない状況における通常の $K_1$ の代わりに機能する、新しい $K$-理論的不変量を提供し、ねじれたコホホロジーと非自明にペアリングする。
• この構成は $SU_q(2)$ などの他の代数に対しても一般化可能であり、非可換幾何学および数理物理学における広範な適用可能性を示唆している。