[論文レビュー] Semifree Hamiltonian circle actions on 6-dimensional symplectic manifolds with non-isolated fixed point set

Yunhyung Cho, Taekgyu Hwang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、6次元シンプレクティック多様体上のハミルトニアン円作用についての基準を確立する：作用は、かつては、減少空間の $ b_2^+ = 1 $ であることと同値である。半自由ハミルトニアン作用で固定点集合が表面である場合、正の genus を持つ固定表面の数 $ k $ は4つ以下であり、$ k \neq 2 $ であることが示され、$ k = 0, 1, 3, 4 $ の場合の明示的例が構成される。一方、$ k = 2 $ はこれらの条件下で不可能であることが示される。

ABSTRACT

Let $(M, ω)$ be a 6-dimensional closed symplectic manifold with a symplectic $S^1$-action with $M^{S^1} eq \emptyset$ and $\dim M^{S^1} \leq 2$. Assume that $ω$ is integral with a generalized moment map $μ$. We first prove that the action is Hamiltonian if and only if $b_2^+(M_{ ed})=1$, where $M_{ ed}$ is any reduced space with respect to $μ$. It means that if the action is non-Hamiltonian, then $b_2^+(M_{ ed}) \geq 2$. Secondly, we focus on the case when the action is semifree and Hamiltonian. We prove that if $M^{S^1}$ consists of surfaces, then the number $k$ of fixed surfaces with positive genera is at most four. In particular, if the extremal fixed surfaces are spheres, then $k$ is at most one. Finally, we prove that $k eq 2$ and we construct some examples of 6-dimensional semifree Hamiltonian $S^1$-manifolds such that $M^{S^1}$ contains $k$ surfaces of positive genera for $k = 0$ and 4. Examples with $k=1$ and 3 were given in \cite{L2}.

研究の動機と目的

• 6次元コンパクトなシンプレクティック多様体上のシンプレクティック $ S^1 $-作用がハミルトニアンである条件を特定すること、特に固定点集合が非孤立的で次元が2以下である場合に焦点を当てる。
• 6次元における半自由ハミルトニアン $ S^1 $-作用の下で、固定表面の可能な数と genus を分類すること。
• $ k = 0, 1, 3, 4 $ の場合に、正の genus を持つ $ k $ 個の表面からなる固定点集合を持つ6次元の半自由ハミルトニアン $ S^1 $-多様体の明示的例を構成し、$ k = 2 $ が不可能であることを示すこと。
• 一般化されたモーメント写像を用いた減少空間の位相的性質の分析、および臨界レベルを越える際のシンプレクティック形式とオイラー類の振る舞い。

提案手法

• 一般化されたモーメント写像 $ \mu: M \to S^1 $ を用いて、シンプレクティック減少 $ M_\xi = \mu^{-1}(\xi)/S^1 $ を定義し、それらが $ b_2^+ $ を持つよい定義された軌道多様体（orbifold）であることを保証する。
• Lin (2010) の結果を応用し、ハミルトニアン性質と減少空間のベッチ数 $ b_2^+(M_\xi) $ の関係を確立する。
• モーメント写像の臨界値を越える際の減少シンプレクティック形式 $ \omega_t $ とオイラー類 $ e \in H^2(M_\text{red}) $ の変化を分析する。
• 主 $ S^1 $-バンドルを用いた臨界部と正則部の貼り合わせによりシンプレクティック多様体を構成する：最小、中間、最大の部品を指定されたオイラー類で構築する。
• ルールド表面が $ b_2^+ = 1 $ を持つことを利用し、$ M_\text{red} \cong \Sigma_g \times S^2 $ であることと、作用がハミルトニアンであることの同値性を導く。
• 区間全体にわたるコhomology類とオイラー類を制御した、$ \Sigma_g \times S^2 $ 上のシンプレクティック形式 $ \omega_t $ の族による明示的構成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定点集合が非孤立的で次元が2以下である場合、6次元コンパクトなシンプレクティック多様体上のシンプレクティック $ S^1 $-作用がハミルトニアンであるための条件は何か？
• RQ2 6次元シンプレクティック多様体上の半自由ハミルトニアン $ S^1 $-作用において、正の genus を持つ固定表面の最大数は何か？
• RQ3 6次元の半自由ハミルトニアン $ S^1 $-多様体が正の genus を持つ固定表面をちょうど2つ持つことは可能か？
• RQ4 このような作用における減少空間を特徴付ける位相的不変量（例：$ b_2^+ $、オイラー類、$ \omega_t $ のコhomology類）は何か？
• RQ5 固定点集合と減少空間の位相的性質が指定されたような多様体の明示的例をどのように構成できるか？

主な発見

• 作用は、モーメント写像 $ \mu $ の任意の正則値 $ \xi $ に対して $ b_2^+(M_\xi) = 1 $ であることと同値であり、非ハミルトニアンの場合にはすべての $ \xi $ に対して $ b_2^+(M_\xi) \geq 2 $ である。
• 固定点集合が表面からなる半自由ハミルトニアン $ S^1 $-作用では、正の genus を持つ固定表面の数 $ k $ は4以下である。
• 正の genus を持つ固定表面の数 $ k $ は2に等しくならない。$ k \neq 2 $ は位相的障害である。
• $ k = 0, 1, 3, 4 $ の場合に例が構成され、$ \{0,1,3,4\} $ のすべての値が実現可能であることが示され、一方 $ k = 2 $ は不可能である。
• $ k = 4 $ の場合、すべての4つの固定表面は同じ genus $ g $ を持つ必要があり、減少空間は $ \Sigma_g \times S^2 $ に微分同相である。
• $ k = 1 $ の場合、極端な固定表面は球面でなければならない。このような例は存在する。$ k = 0 $ の場合、固定点集合は球面のみからなるか、空である。