[論文レビュー] Semigroup identities of tropical matrices through matrix ranks

Zur Izhakian, Glenn Merlet|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、行列のべきのトロピカルランクとファクターランクの間の重要な関係を確立することにより、任意の $ n $ に対して $ n \times n $ トロピカル行列のモノイドが非自明な半群的恒等式を満たすことを証明している。新規のランク比較結果と三角行列の恒等式に基づく帰納法を用いて、長さが $ e^{Cn^2 + o(n^2)} $ に比例して増加する恒等式を構成し、$ C \leq 1/2 + \ln 2 $ であることを示した。これにより、トロピカル半群論における長年の予想が解決された。

ABSTRACT

We prove the conjecture that, for any $n$, the monoid of all $n imes n$ tropical matrices satisfies nontrivial semigroup identities. To this end, we prove that the factor rank of a large enough power of a tropical matrix does not exceed the tropical rank of the original matrix.

研究の動機と目的

• 任意の $ n \in \mathbb{N} $ に対して、$ n \times n $ トロピカル行列のモノイド $ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ が非自明な半群的恒等式を満たすという予想を解決すること。
• 行列のトロピカルランクとその高次のべきのファクターランクとの間の関係を確立し、恒等式の帰納的構成を可能にする。
• 上三角行列のモノイド $ \mathcal{U}_n $ における既知の恒等式を、反復におけるランクに基づく不変性を用いて、全行列モノイド $ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ に拡張すること。
• このような恒等式の長さに対する定量的上限を提供し、$ C \leq 1/2 + \ln 2 $ のもとで $ e^{Cn^2 + o(n^2)} $ のオーダーで増加することを示すこと。

提案手法

• 定理 2.20 を導入・証明する：任意の $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ に対して、$ t \geq (n-1)^2 + 1 $ のとき $ \operatorname{rk}_{\text{fc}}(A^t) \leq \operatorname{rk}_{\text{tr}}(A) $ が成り立つ。これによりファクターランクとトロピカルランクを結ぶ。
• 命題 2.6 を用いて、$ \operatorname{rk}_{\text{tr}}(A^{\overline{n}}) < n $ ならば $ t \geq 3n-2 $ のとき $ \operatorname{rk}_{\text{fc}}(A^{t\overline{n}}) < n $ であることを示し、帰納的削減を可能にする。
• 先行研究における弱い CSR 展開法を活用し、行列のべきとそのランク挙動を分析する。
• 補題 3.1 を適用して、行列の因数分解と語置換を用いて、小さい行列モノイドから大きなモノイドへの恒等式の転送を行う。
• 上三角トロピカル行列のモノイドに既知の恒等式が存在すること（$ \langle q,r\rangle \in \operatorname{Id}(\mathcal{U}_n) $）を根拠に、再帰的に恒等式を構成する。
• 最終的な恒等式の長さを、$ \overline{n} = \operatorname{lcm}(1,\dots,n) $ の指数的増加と、$ \mathcal{U}_n $ における指数的長さの恒等式の組み合わせによって上限付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ n \geq 1 $ に対して、$ n \times n $ トロピカル行列のモノイド $ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ は非自明な半群的恒等式を満たすか？
• RQ2 行列のべきのファクターランクは、元の行列のトロピカルランクで抑えられるか？
• RQ3 上三角行列モノイド $ \mathcal{U}_n $ やその類似部分モノイドにおける恒等式を、$ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ に対して一様に拡張する方法は存在するか？
• RQ4 $ n $ が増加するに従い、このような恒等式の長さの漸近的増加率はどのようになるか？

主な発見

• 任意の $ n \in \mathbb{N} $ に対して、モノイド $ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ は非自明な半群的恒等式を満たすことが確認され、予想が裏付けられた。
• 恒等式の長さは $ e^{Cn^2 + o(n^2)} $ のオーダーで増加し、$ C \leq 1/2 + \ln 2 $ である。これは、最小公倍数 $ \overline{n} = \operatorname{lcm}(1,\dots,n) $ と $ \mathcal{U}_n $ における指数的長さの恒等式から導出された。
• 定理 2.20 により、$ t \geq (n-1)^2 + 1 $ のとき $ \operatorname{rk}_{\text{fc}}(A^t) \leq \operatorname{rk}_{\text{tr}}(A) $ が成り立つことが示され、重要なランク制御機構が得られた。
• 命題 2.6 により、$ \operatorname{rk}_{\text{tr}}(A^{\overline{n}}) < n $ ならば $ t \geq 3n - 2 $ のとき $ \operatorname{rk}_{\text{fc}}(A^{t\overline{n}}) < n $ であることが示され、帰納的削減が可能となった。
• 系 3.9 が導かれる：$ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ に非自明な恒等式が存在するため、$ \mathcal{M}_n(\mathbb{T}) $ によって忠実に表現される任意の半群も非自明な恒等式を満たす。
• $ n=3 $ の場合、本手法により長さ 4,968 および 5,808 の恒等式が得られ、以前までに知られていた 1,795,308 長の恒等式よりも著しく短く、効率性が示された。