[論文レビュー] Semigroups for One-Dimensional Schrödinger Operators with Multiplicative Gaussian Noise

Pierre Yves Gaudreau Lamarre|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、分布的解釈と確率的技法を用いて、乗法的ガウスノイズを伴う1次元シュレーディンガー作用素に対するフェインマン・カック半群の存在およびトレースクラス性を確立する。ポテンシャルおよびノイズにやや弱い条件下で、半群は適切に定義され、コンパクトであり、$\mathbb{R}$、$(0,\infty)$、$(0,b)$ などの領域におけるさまざまな境界条件のもとで一般化フェインマン・カック公式による確率的表現を有する。

ABSTRACT

Let $ H:=- frac12Δ+V$ be a one-dimensional continuum Schrödinger operator. Consider ${\hat H}:= H+ξ$, where $ξ$ is a translation invariant Gaussian noise. Under some assumptions on $ξ$, we prove that if $V$ is locally integrable, bounded below, and grows faster than $\log$ at infinity, then the semigroup $\mathrm e^{-t {\hat H}}$ is trace class and admits a probabilistic representation via a Feynman-Kac formula. Our result applies to operators acting on the whole line $\mathbb R$, the half line $(0,\infty)$, or a bounded interval $(0,b)$, with a variety of boundary conditions. Our method of proof consists of a comprehensive generalization of techniques recently developed in the random matrix theory literature to tackle this problem in the special case where ${\hat H}$ is the stochastic Airy operator.

研究の動機と目的

• ノイズの不規則性のため、点で定義されない乗法的ガウスノイズを伴うシュレーディンガー作用素の厳密な確率的枠組みを確立すること。
• $\xi$ が分布的ガウス過程である場合に、作用素 $\hat{H} = H + \xi$ 及びその半群 $e^{-t\hat{H}}$ を定義する課題を克服すること。
• 特に確率的エアリ作用素に用いられる手法を含む、ランダム行列理論の技術を、乗法的ノイズを伴う一般の1次元シュレーディンガー作用素に拡張すること。
• ポテンシャルおよびノイズにやや弱い条件下で、半群 $e^{-t\hat{H}}$ がトレースクラスであり、フェインマン・カック表現を有することを証明すること。
• 全直線、半直線、有界区間などのさまざまな領域および境界条件（ロビン型またはディリクレ型）を扱うこと。

提案手法

• 乗法的ガウスノイズ $\xi$ を連続ガウス過程 $\Xi$ の分布的微分として解釈し、部分積分を用いて $\xi(f)$ を厳密に定義する。
• 積分 $\int \xi(B(s)) ds$ を $\Xi$ に関するストラトノビッチ型確率積分として解釈することで、フェインマン・カック公式の形 $\mathbb{E}^x[\exp(-\int_0^t V(B(s)) ds - \int_0^t \xi(B(s)) ds) f(B(t))]$ を用いる。
• 境界条件を正則化した有界領域上の近似作用素 $H_n$ を用いた極限手続きを適用し、全作用素 $H$ を近似する。特に、パrameter $n$ を用いたロビン境界条件を用いる。
• 半群 $K_n(t) \to K(t)$ の作用素ノルム収束および固有値・固有関数の収束を、境界条件行列の行列表示および摂動論を用いて確立する。
• 境界条件行列 $B_n \to B$ の収束に依存して、半群のコンパクト性および $L^2$-収束を示し、トレースクラス性を証明する。
• 反射ブラウン運動の経路における局所時刻項 $\mathfrak{L}^0_t(Y)$ および $\mathfrak{L}^b_t(Y)$ を含む一般化フェインマン・カック公式を用いて、半群を表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズが関数ではなく分布である場合、乗法的ガウスノイズを伴うシュレーディンガー作用素に対してフェインマン・カック公式を厳密に拡張することは可能か？
• RQ2 ポテンシャル $V$ およびノイズ $\xi$ にどのような条件下で、半群 $e^{-t\hat{H}}$ がトレースクラスになるか？
• RQ3 $\xi$ が点で評価できない場合に、作用素 $\hat{H} = H + \xi$ はどのように定義され、その半群は確率的にどのように表現できるか？
• RQ4 有界区間への領域近似と境界条件の正則化を用いた場合、半群 $e^{-t\hat{H}}$ は作用素ノルム収束するか？
• RQ5 適切な境界条件の正則化のもとで、近似作用素の固有値および固有関数は、全作用素 $\hat{H}$ のそれらに $L^2$-ノルムで収束するか？

主な発見

• ポテンシャル $V$ が局所可積分で下から有界であり、無限遠で $\log|x|$ より速く増加するならば、すべての $t > 0$ に対して半群 $e^{-t\hat{H}}$ はトレースクラスである。
• 半群は、ブラウン運動の局所時刻および分布的ノイズ $\xi$ を含むフェインマン・カック公式による確率的表現を有する。
• 有界区間への領域近似とロビン境界条件を用いた場合、半群の収束 $K_n(t) \to K(t)$ は作用素ノルムで成立し、境界条件行列 $C_n \to B$ が成り立つ。
• 近似作用素の固有値 $\lambda_k(H_n) \to \lambda_k(H)$ および固有関数 $\psi_k(H_n) \to \psi_k(H)$ は $n \to \infty$ のとき $L^2$-ノルムで収束し、半群の生成作用素が $\hat{H}$ であることが保証される。
• 本手法は、特に確率的エアリ作用素に用いられるランダム行列理論の技術を、乗法的ノイズを伴う広範な1次元シュレーディンガー作用素に一般化する。
• 結果は全直線 $\mathbb{R}$、半直線 $(0,\infty)$、有界区間 $(0,b)$ に対して成り立ち、ロビンおよび混合境界条件を含むさまざまな境界条件に対応する。