[論文レビュー] Semigroups of matrices with dense orbits

Mohammad Javaheri|arXiv (Cornell University)|May 8, 2009

Holomorphic and Operator Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ℝ$ もしくは $ℂ$ 上の $n \times n$ 行列 $A$ と $B$ の明示的な対を構成し、$ℝ^n$ もしくは $ℂ^n$ に属するほぼすべての初期ベクトル $x$ に対して、$A$ と $B$ が生成する半群による軌道が $ℝ^n$ に稠密になるようにしている。主な結果として、$A$ が下三角行列で $B$ が対角行列であるような二つの行列が、固有値に特定のスペクトル的および比の条件が満たされ、導出された行列の第一列が非ゼロ成分を持つ場合、ハイパーシュルックな半群を生成できることを示している。

ABSTRACT

We give examples of $n imes n$ matrices $A$ and $B$ over the filed $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$ such that for almost every column vector $x \in \mathbb{K}^n$, the orbit of $x$ under the action of the semigroup generated by $A$ and $B$ is dense in $\mathbb{K}^n$.

研究の動機と目的

• 有限次元空間におけるハイパーシュルックな半群を生成するのに必要な最小の行列数を特定すること。
• 単一作用素からのハイパーシュルック性の概念を、線形作用素の有限生成半群へと拡張すること。
• $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ もしくは $\mathbb{C}$ の場合に、$\mathbb{K}^n$ において稠密な軌道をもたらす行列対の明示的構成を提供すること。
• 半群作用の下で稠密な軌道を保証する行列の成分および固有値に関する十分条件を確立すること。
• 非稠密だがどこかで稠密な軌道をもつものや、マルチハイパーシュルック現象が行列半群に存在するかを調査すること。

提案手法

• $A$ を下三角行列、$B$ を対角行列とする二つの行列 $A$ と $B$ が生成する半群を定義する。
• スペクトル的条件を課す：$|B_n| < \cdots < |B_1| < 1 < |A_1| < \cdots < |A_n|$ および比の順序 $\left(\frac{B_k}{B_1}, \frac{A_k}{A_1}\right) \prec \cdots \prec (B_1, A_1)$。
• 生成対条件を導入する：$(a,b) \in \mathbb{K}^2$ が生成的であるとは、$|a| < |b|$ かつ $\{a^m b^n : m,n \in \mathbb{N}\}$ が $\mathbb{K}$ に稠密であることを意味する。
• 逆行列 $(A_1^{-1}A - I + \Delta)^{-1}$ の第一列成分がすべて非ゼロであることを保証し、一般性のある条件を満たす。
• $\Phi$ による共役作用を用いて、$\mathbb{K}^{n+1}$ における軌道を $\mathbb{K}^n$ におけるものに関連づけ、アフィンの場合を線形の場合に還元する。
• 半群準同型の性質を活用し、高次元線形系における軌道の稠密性を、元のアフィン系へと移す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ℝ^n$ においてハイパーシュルックな半群を生成するのに必要な最小の行列数は何か？
• RQ2 非可換な二つの行列が $ℝ^n$ において稠密な軌道を有する半群を生成できるか？
• RQ3 二つの行列が、$ℝ^n$ においてほとんどすべての軌道が稠密になるようにするためのスペクトル的および構造的条件は何か？
• RQ4 実行列対において、どこかで稠密だが全体としては稠密でない軌道が存在するか？そのような対は $ℂ$ 上でも存在するか？
• RQ5 有限個のベクトルの軌道の和集合が $ℝ^n$ に稠密になるが、その中で1つの軌道も稠密でないことはあり得るか？

主な発見

• 本稿は、$A$ が下三角行列で $B$ が対角行列であるような二つの行列が、特定のスペクトル的および比の条件を満たせば、$ℝ^n$ または $ℂ^n$ においてハイパーシュルックな半群を生成できることを証明している。
• $n \geq 1$ に対して、実数および複素数の $n \times n$ 行列 $A$ と $B$ が明示的に存在し、$x_1 \neq 0$ を満たすすべての $x \in \mathbb{K}^n$ の軌道が $ℝ^n$ に稠密である。
• 生成対条件 $\left(\frac{B_k}{B_1}, \frac{A_k}{A_1}\right) \prec \cdots \prec (B_1, A_1)$ が満たされ、半群作用が稠密であることが保証される。
• $(A_1^{-1}A - I + \Delta)^{-1}$ の第一列成分が非ゼロである条件は一般的であり、行列のフル測度集合で満たされる。
• $x \mapsto Bx$ および $x \mapsto Ax + v$ を生成元とするアフィン半群は、固有値に $|B_n| < \cdots < |B_1| < 1 < |A_1| < \cdots < |A_n|$ および $\left(B_k, A_k\right) \prec \cdots \prec (B_1, A_1)$ の条件が満たされれば、$ℝ^n$ において稠密な軌道を持つ。
• $p_1 \neq 0$ を満たす $ℝ^n$ 内の任意のベクトル $p$ に対して、半群 $\langle A, B \rangle$ による軌道は $ℝ^n$ に稠密である。これは共役作用と半群準同型の技法により示された。