[論文レビュー] Semigroups of Operators on Spaces of Fuzzy-Number-Valued Functions with Applications to Fuzzy Differential Equations

Ciprian G. Gal, Sorin G. Gal|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 9被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、ファジィ数値関数の空間における作用素の半群を導入し、古典的演算子理論をファジィ微分方程式へと拡張する。ファジィ作用素指数を用いたパrameterの変化の公式を確立することで、ファジィ初期値問題やファジィ波動方程式に対する明示的解が得られ、それらは通常の解に追加のファジィ項を含む一般化された形である。

ABSTRACT

In this paper we introduce and study semigroups of operators on spaces of fuzzy-number-valued functions, and various applications to fuzzy differential equations are presented. Starting from the space of fuzzy numbers, many new spaces sharing the same properties are introduced. We derive basic operator theory results on these spaces and new results in the theory of semigroups of linear operators on fuzzy-number kind spaces. The theory we develop is used to solve classical fuzzy systems of differential equations, including, for example, the fuzzy Cauchy problem and the fuzzy wave equation. These tools allow us to obtain explicit solutions to fuzzy initial value problems which bear explicit formulas similar to the crisp case, with some additional fuzzy terms which in the crisp case disappear. The semigroup method displays a clear advantage over other methods available in the literature (i.e., the level set method, the differential inclusions method and other "fuzzification" methods of the real-valued solution) in the sense that the solutions can be easily constructed, and that the method can be applied to a larger class of fuzzy differential equations that can be transformed into an abstract Cauchy problem.

研究の動機と目的

• ファジィ数値関数の空間における作用素の半群の整合的理論を構築し、ファジィ空間の非線形性に起因する課題を克服すること。
• 標準的な線形代数が非分配的スカラー乗法のため失敗するファジィ環境において、古典的半群理論を拡張すること。
• 抽象的初期値問題の定式化を用いて、特にファジィ初期値問題とファジィ波動方程式を含むファジィ微分方程式を解くこと。
• 通常の状況と類似した明示的かつ構成可能な解を提供し、初期値の連続的依存性を保証するとともに、古典的極限において消える追加のファジィ項を含むこと。
• ファジィ作用素半群における安定性解析および初期データへの連続的依存性の枠組みを確立すること。

提案手法

• 適切な距離を備えたファジィ数値関数空間 $C([a,b];\mathbb{R}_F)$, $L^p([a,b];\mathbb{R}_F)$, および $C^p([a,b];\mathbb{R}_F)$ を定義する。
• 作用素作用を定義するため、ファジィ加法 $\oplus$ とファジィスカラー乗法 $\odot$ を導入する。
• $\oplus$-和を用いて半群 $T(t)$ を定義するファジィ指数 $e^{t \odot A}(u_0) = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!} A^k(u_0)$ を構成する。
• 抽象的ファジィ初期値問題を解くために、パrameterの変化の公式 $u(t) = T(t)(u_0) \oplus \int_0^t T(t-s)g(s)\,ds$ を適用する。
• Hukuhara微分と一般化された微分可能性を用いて、ファジィ偏微分方程式（特にファジィ波動方程式）を扱う。
• 波動方程式の解について、部分級数近似 $u_m(t,x) = \sum_{p=0}^m \frac{t^{2p}}{(2p)!} \odot u_1^{(2p)}(x) \oplus t \odot u_2(x)$ の一様収束性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファジィ数値関数空間の非線形構造にかかわらず、半群理論は拡張可能か？
• RQ2 パrameterの変化の公式 $u(t) = T(t)(u_0) \oplus \int_0^t T(t-s)g(s)\,ds$ はファジィ初期値問題に対して有効な解を与えるか？
• RQ3 ファジィ微分方程式の解は、それらのクリップス（明確な）対応物とどのように異なるか。また、どのような追加のファジィ項が出現するか？
• RQ4 Hukuhara微分と級数近似の一様収束性を用いて、ファジィ波動方程式は作用素半群を用いて解けるか？
• RQ5 ファジィ初期値問題の解は一意的であり、初期データに対して連続的に依存するか？

主な発見

• ファジィ初期値問題に対する構成的解として、$\oplus$-和を用いた半群 $T(t)(u_0) = e^{t \odot A}(u_0) = \sum_{k=0}^\infty \frac{t^k}{k!} A^k(u_0)$ が得られる。
• ファジィ波動方程式の解は $u(t,x) = \cosh(t \odot A)(u_1(x)) \oplus t \odot u_2(x)$ で与えられ、ここで $\cosh(t \odot A)$ は距離空間内での収束級数である。
• 区間 $t$ においてコンパクトな領域で、解の正確な近似として $u_m(t,x) = \sum_{p=0}^m \frac{t^{2p}}{(2p)!} \odot u_1^{(2p)}(x) \oplus t \odot u_2(x)$ の列が一様収束する。
• 初期関数が実数値の場合、ファジィ解は古典的解に還元され、クリップスの場合との整合性が確認される。
• 解には $E(u_0,v_0) \odot h(t)$ のような追加のファジィ項が含まれ、ここで $h(t) = \frac{1}{4}[\cosh(t\sqrt{2}) - t^2 - 1]$ であり、古典的極限において消える。
• 本手法により、$\{T(t)\}_{t \geq 0}$ に対するリャプノフ安定性定理の定式化が可能となり、古典的安定性解析がファジィ半群へと拡張される。