[論文レビュー] Semigroups of weighted composition operators in spaces of analytic functions

Irina Arévalo, Marcos I. Oliva|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、解析関数空間、特にハーディー空間、バーグマン空間、混合ノルム空間、重み付きバナッハ空間における重み付き合成作用素の半群 $T_t f = \varphi_t' (f \circ \varphi_t)$ の強い連続性を検討する。このような半群は、ハーディー空間やバーグマン空間などの分離可能な空間では常に強い連続性を示すが、$H_v^\infty$ のような非分離空間では、デニョ・ウルフ点と関連する積分作用素の挙動によって定まる真部分空間でのみ強い連続性が成立する。

ABSTRACT

We study the strong continuity of weighted composition semigroups of the form $T_tf=φ_t'\left(f\circφ_t ight)$ in several spaces of analytic functions. First we give a general result on separable spaces and use it to prove that these semigroups are always strongly continuous in the Hardy and Bergman spaces. Then we focus on two non-separable family of spaces, the mixed norm and the weighted Banach spaces. We characterize the maximal subspace in which a semigroup of analytic functions induces a strongly continuous semigroup of weighted composition operators depending on its Denjoy-Wolff point, via the study of an integral-type operator.

研究の動機と目的

• 解析的半群によって誘導される重み付き合成作用素半群が、さまざまな解析関数空間でいつ強い連続性を示すかを特徴づけること。
• 非分離空間（例：$H_v^\infty$）における、このような半群が強い連続性を示す最大の閉部分空間を同定すること。
• 強い連続性の構造を決定する要因としてのデニョ・ウルフ点の役割を分析すること。
• 混合ノルム空間および重み付きバナッハ空間における関連する積分型作用素の有界性およびコンパクト性の基準を確立すること。
• 分離可能空間と非分離可能空間の違いが、重み付き合成作用素半群の強い連続性の文脈でどのように現れるかを明確にすること。

提案手法

• 分離可能な解析関数のバナッハ空間における強い連続性の一般基準を用いて、ハーディー空間およびバーグマン空間における強い連続性を証明する。
• 非分離空間 $X$ に対して、最大部分空間 $[\varphi_t', X] = \{ f \in X : \lim_{t \to 0^+} \| \varphi_t' (f \circ \varphi_t) - f \|_X = 0 \}$ を定義する。
• 混合ノルム空間および重み付きバナッハ空間 $H_v^\infty$ に対して、半群の生成子に関連する積分型作用素の有界性およびコンパクト性を用いて $[\varphi_t', X]$ を特徴づける。
• コーエンス関数と無限小生成子 $G(z) = \lim_{t \to 0^+} \frac{\varphi_t(z) - z}{t}$ を用いて、幾何的関数論と作用素論的性質を関連付ける。
• 生成子表現における正の実部関数 $P$ を用いて、$G(z) = (\bar{b}z - 1)(z - b)P(z)$ かつ $\text{Re}\,P \geq 0$ の形に表現し、デニョ・ウルフ点 $b \in \overline{\mathbb{D}}$ を分析する。
• 双対性および弱コンパクト性の議論を用い、特に $(H_v^0)^{**} = H_v^\infty$ を用いて、乗法作用素のコンパクト性と弱コンパクト性を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解析的半群によって誘導される重み付き合成作用素半群が、ハーディー空間およびバーグマン空間でいつ強い連続性を示すか？
• RQ2 非分離空間（例：$H_v^\infty$）における、与えられた関数の半群が重み付き合成作用素半群として強い連続性を示す最大の部分空間は何か？
• RQ3 半群のデニョ・ウルフ点が、強い連続性のための最大部分空間の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 混合ノルム空間および重み付きバナッハ空間における、半群に関連する積分型作用素の有界性およびコンパクト性の必要十分条件は何か？
• RQ5 準正規重みを持つ $H_v^\infty$ において、非自明な強い連続性を示す重み付き合成作用素半群は存在するか？

主な発見

• 解析的半群によって誘導される任意の重み付き合成作用素半群は、ハーディー空間 $H^p$ およびバーグマン空間 $A^p$ で強い連続性を示す。
• 非分離な重み付きバナッハ空間 $H_v^\infty$ では、非自明な半群が重み付き合成作用素半群として強い連続性を示すことはなく、すなわち $[\varphi_t', H_v^\infty] \subsetneq H_v^\infty$ である。
• 準正規重みを持つ $H_v^\infty$ において、強い連続性が全空間 $H_v^0$ で成立するための必要十分条件は、$1/P \in H_0(\infty, \infty, 1)$ である。ここで $P$ は生成子表現における正の実部関数である。
• デニョ・ウルフ点 $b \in \mathbb{T}$ の場合、最大部分空間 $[\varphi_t', H_v^\infty]$ は $H_v^0$ を真に含むため、強い連続性は $H_v^0$ で成立しない。
• $H_v^\infty$ 上での乗法作用素 $W_g$ の有界性は $g \in H(\infty, \infty, 1)$ と同値であり、コンパクト性は $g \in H_0(\infty, \infty, 1)$ と同値である。
• $b \in \mathbb{D}$ の場合、$H_v^0 = [\varphi_t', H_v^\infty]$ が成り立つための必要十分条件は $1/P \in H_0(\infty, \infty, 1)$ であり、部分空間の等号は $1/P$ の境界近傍での減衰性と関連している。