[論文レビュー] Semiinfinite cohomology of associative algebras and bar duality

Sergey Arkhipov|ArXiv.org|Feb 5, 1996

Advanced Topics in Algebra被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、非正次数の部分代数をもつ次数付き結合的代数の半無限コホモロジーについて、古典的バー双対性を一般化したバー双対性フレームワークを確立する。DG代数 $ D^\bullet(A,B) $ を構成し、導来関手を用いて導来圏の同値を実現する。半無限Extをこの双対的設定における導来Homとして特定し、グレーディングされたリーリング代数の普遍包あらわし代数に対して、この構成が臨界的2次コサイクルを介してリーリング代数の半無限コホモロジーを回復することを証明する。三角分解に応じて、コサイクルの明示的表現が得られる。

ABSTRACT

We describe semiinfinite cohomology of associative algebras in terms of Koszul (or bar) duality. Consider an associative algebra $A$ and two its subalgebras $B$ and $N$ such that $A=B\otimes N$ as a vector space. We prove that the endomorphism algebra of the semiregular $A$-module appears naturally in semiinfinite cohomology theory as a ``two times Koszul dual'' to the algebra $A$. We compare semiinfinite cohomology of universal enveloping algebras with the well-known Lie algebra semiinfinite cohomology. A new description of the critical 2-cocycle is provided. As a consequence we obtain another proof of the fact that additive categories generated by Verma modules over affine Lie algebras on dual levels are antiequivalent.

研究の動機と目的

• 次数付き結合的代数 $ A $ と非正次数の部分代数 $ B $ をもつ場合の、半無限コホモロジーのバー双対性に基づく構成法の開発。
• DG代数 $ D^\bullet(A,B) $ と導来関手を用いて、古典的バー双対性を半無限設定に一般化すること。
• この双対性によって定義された半無限Ext関手が、[Ar] に既存の定義と一致することの証明。
• グレーディングされたリーリング代数の普遍包あらわし代数に対して、この構成がリーリング代数の半無限コホモロジーを回復することの証明。
• アフィンリーリング代数に対して、異なる三角分解のもとで臨界的2次コサイクルを明示的に計算すること。

提案手法

• 有限性条件の下で、次数付き結合的代数 $ A $ と非正次数部分代数 $ B $ に対して、自然なDG代数 $ D^\bullet(A,B) $ を定義する。
• 導来圏 $ A\text{-mod} $ と $ D^\bullet(A,B)^{\text{op}}\text{-mod} $ の間の同値を実現する導来関手 $ D^\flat_A $ と $ D^\natural_A $ を構成する。
• 双対関手を用いて、半無限Extを $ \operatorname{Ext}^{\frac{\infty}{2}+\bullet}_{A}(L,M) := \operatorname{Ext}^\bullet_{D^\bullet(A,B)}(D^\natural_{A^\sharp}(L), D^\flat_A(M)) $ として定義する。
• $ A^\sharp = \operatorname{End}_A(S_A) $ であり、$ S_A = \operatorname{Hom}_B(A,B) $ であることを示し、$ A = B \otimes N $ のとき $ A^\sharp $ が三角分解 $ B^{\text{op}} \otimes N^{\text{op}} $ をもつことを示す。
• $ D^\bullet(A,B)^{\text{op}} \cong D^\bullet(A^\sharp, B^{\text{op}}) $ を証明し、双対代数間の双対性を確立する。
• 異なる三角分解の下で、アフィンリーリング代数に対して臨界的2次コサイクル $ \omega_0^{(1)} $ と $ \omega_0^{(2)} $ を計算し、$ \omega_0^{(1)} = 2h^\vee \nu $ および $ \omega_0^{(2)} = 2h^\vee \nu + 2d\rho $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、次数付き設定における結合的代数の半無限コホモロジーをバー双対性によって再構成できるか？
• RQ2 $ A $-加群の導来圏と双対DG代数 $ D^\bullet(A,B) $ の導来圏との間の関係は何か？
• RQ3 提案された半無限Ext関手は、[Ar] に既存の定義と一致するか？
• RQ4 この構成は、グレーディングされたリーリング代数の普遍包あらわし代数にどのように特殊化されるか？
• RQ5 アフィンリーリング代数の場合、臨界的2次コサイクルの明示的形は何か？また、三角分解の選択にどのように依存するか？

主な発見

• $ D^\flat_A $ と $ D^\natural_A $ は三角圏同値であり、古典的バー双対性を半無限設定に一般化する。
• 半無限Extは双対圏における導来Homと同型であり、半無限コホモロジーのホモロジー的解釈を提供する。
• $ A^\sharp = \operatorname{End}_A(S_A) $ は半正則モジュール $ S_A $ の自己準同型代数と同型であり、$ A = B \otimes N $ のとき $ A^\sharp $ は三角分解 $ B^{\text{op}} \otimes N^{\text{op}} $ をもつ。
• グレーディングされたリーリング代数の普遍包あらわし代数に対して、この双対性フレームワークによって定義された半無限コホモロジーは、リーリング代数の半無限コホモロジーと一致する。
• 分解 $ \mathfrak{p} = \overline{\mathfrak{g}} $ のもとで、臨界的2次コサイクル $ \omega_0^{(1)} $ は $ 2h^\vee \nu $ に等しく、ここで $ \nu $ は正規化された不変形式である。
• ボレル分解 $ \mathfrak{p} = \text{Borel} $ のもとで、臨界コサイクルは $ \omega_0^{(2)} = 2h^\vee \nu + 2d\rho $ に等しく、ここで $ \rho $ は $ d\rho(e_{\alpha_i}, e_{-\alpha_i}) = 1 $ を満たす1次コチェーンである。