[論文レビュー] Semilinear stochastic partial differential equations: central limit theorem and moderate deviations

Rangrang Zhang, Jie Xiong|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界領域上での空間時間白色ノイズによって駆動される、非線形項を含む確率的偏微分方程式（SPDE）のクラスに対して、中心極限定理（CLT）および中程度偏差原理（MDP）を確立する。弱収束アプローチと変分表現を用いて、解の正規化された偏差がCLTスケーリング下でガウス過程に収束すること、および中間スケーリング下でMDPを満たすことを証明する。この結果は、確率的バーガース方程式や反応拡散型方程式などに適用可能である。

ABSTRACT

In this paper, we establish a central limit theorem (CLT) and the moderate deviation principles (MDP) for a class of semilinear stochastic partial differential equations driven by multiplicative noise on a bounded domain. The main results can be applied to stochastic partial differential equations of various types such as the stochastic Burgers equation and the reaction-diffusion equations perturbed by space-time white noise.

研究の動機と目的

• 空間時間白色ノイズによって駆動される非線形SPDEの解に対して、中心極限定理（CLT）を確立すること。
• 同様のSPDEクラスに対して、CLTと大偏差の間のギャップを埋める中程度偏差原理（MDP）を導出すること。
• 空間時間白色ノイズの文脈において、時刻に依存する非半マルティンゲール型被積分関数をもつストキャスティック積分の上界の評価という課題に取り組むこと。
• 時間白色ノイズモデルにおける既存のCLTおよびMDPの結果を、より複雑な空間時間白色ノイズ設定に拡張すること。
• 乗法的ノイズを伴うSPDEモデルにおける漸近的信頼区間を用いた統計的推論のための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• DupuisとEllisの弱収束アプローチを適用し、有界連続汎関数のラプラス変換に対する変分表現公式に依拠してMDPを証明する。
• Boué-DupuisおよびBudhiraja-Dupuisの変分表現を用いて、空間時間白色ノイズを伴うSPDEにおけるラプラス原理とMDPを結びつける。
• スケーリング $ \lambda(\varepsilon) \to \infty $, $ \sqrt{\varepsilon}\lambda(\varepsilon) \to 0 $ の下で、偏差過程 $ X^\varepsilon(t) = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}\lambda(\varepsilon)}(u^\varepsilon - u^0)(t) $ を分析する。
• 解の差のストキャスティック積分表現を用いた摂動論法を採用し、偏差を極限ガウス過程と確率的に消える余剰項に分解する。
• 伊藤の公式とグロンウォール型推移を用いてストキャスティック積分の上界ノルムを制御することで、正規化された偏差過程のtightnessおよび法則収束を確立する。
• 線形成長および二次成長条件の仮定の下で、漂移項が $ b $ および $ g $ のフレシェ微分から生じる線形化SPDEが、ノイズ係数 $ \sigma $ によって駆動されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間時間白色ノイズを伴う非線形SPDEの解は、ノイズ強度 $ \varepsilon \to 0 $ のとき中心極限定理を満たすか？
• RQ2 スケーリング $ \lambda(\varepsilon) $ がCLTと大偏差の間にあるとき、このようなSPDEに対して中程度偏差原理を確立できるか？
• RQ3 空間時間白色ノイズの文脈において、時刻に依存する非半マルティンゲール型被積分関数をもつストキャスティック積分の上界をどのように制御できるか？
• RQ4 中間スケーリング下で、$ C([0,T];L^2([0,1])) $ 内の正規化偏差 $ X^\varepsilon $ の極限挙動はいかなるものか？
• RQ5 MDPにおける極限過程は、ノイズ係数 $ \sigma $ によって駆動される線形化SPDEの解と同じ分布に従うか？

主な発見

• 空間時間白色ノイズを伴う非線形SPDEの解に対して中心極限定理が成立し、正規化偏差 $ X^\varepsilon $ が $ C([0,T];L^2([0,1])) $ 内でガウス過程に法則収束することを示した。
• 中間スケーリング $ \lambda(\varepsilon) \to \infty $, $ \sqrt{\varepsilon}\lambda(\varepsilon) \to 0 $ の下で、SPDEに対して中程度偏差原理が確立され、弱収束アプローチを用いてレート関数が導出された。
• MDPにおける極限過程は、ノイズ係数 $ \sigma $ によって駆動される線形化SPDEを満たし、$ b $ および $ g $ のフレシェ微分から生じる追加の漂移項が含まれる。
• 被積分関数が時刻に依存する非半マルティンゲール型であるストキャスティック積分の上界の評価という技術的課題を、極限ガウス過程と確率的に消える余剰項に分解することで克服した。
• 正規化された解 $ \mathcal{G}^\varepsilon(W + \lambda(\varepsilon)\int h^\varepsilon) $ が $ \mathcal{G}^0(\int h) $ に法則収束することを確立し、与えられたスケーリング下でMDPが成立することを確認した。
• 結果は、確率的バーガース方程式や空間時間白色ノイズを伴う確率的反応拡散方程式といった重要なモデルに適用可能であり、従来のLDPおよびCLTの結果をMDP領域に拡張した。