[論文レビュー] Semisimple and separable algebras in multi-fusion categories

Liang Kong, Hao Zheng|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の体上の多重ファージョンカテゴリにおける単純かつ分離代数を分類し、Wedderburn-Artin定理をこの設定に拡張する。Drinfeld中心が単純であるとき、単純代数の分離性の障害は、不完全体拡張にのみ起因することを確立し、双対と同型を用いて定義される次元が非ゼロであるとき、かつそのときに限り、単純代数が分離的であることを証明する。

ABSTRACT

We give a classification of semisimple and separable algebras in a multi-fusion category over an arbitrary field in analogy to Wedderben-Artin theorem in classical algebras. It turns out that, if the multi-fusion category admits a semisimple Drinfeld center, the only obstruction to the separability of a semisimple algebra arises from inseparable field extensions as in classical algebras. Among others, we show that a division algebra is separable if and only if it has a nonvanishing dimension.

研究の動機と目的

• 多重量ファージョンカテゴリにおける単純代数を、単純代数の一般化として分類し、Wedderburn-Artin定理を一般化する。
• 多重量ファージョンカテゴリにおける分離代数を特徴づけ、分離性の障害を同定する。
• ファージョンカテゴリにおける単純代数の次元を定義し、それを分離性と関連付ける。
• 多重量ファージョンカテゴリのDrinfeld中心が単純である条件を確立する。特に正の特性における場合を含む。
• 完璧体および正の特性体を含む任意の体に対する分離性に関する古典的結果を拡張する。

提案手法

• リッチモーナルド圏におけるモジュールカテゴリおよび内部ホムの理論を用いて、代数構造を分析する。
• 双対と同型を用いて定義される次元を、$\mathbf{1} \to A \otimes A^L \xrightarrow{f \otimes f^{-1}} A^L \otimes A \to \mathbf{1}$ の合成を通じて導入する。ここで $f: A \to A^L$ は右 $A$-加群としての同型写像である。
• 分離代数の性質と中心の単純性を関連付けるために、Drinfeld中心構成 $\mathfrak{Z}(\mathcal{C})$ を適用する。
• 双対性を用いて $\operatorname{RMod}_A(\mathcal{C}) \simeq \operatorname{LMod}_A(\mathcal{C})^{\mathrm{op}}$ の同値関係を用い、モジュールカテゴリを研究する。
• 代数が分離的であるための必要十分条件として、単位写像 $A \otimes A \to A$ が双モジュール写像として分解可能であることの基準を適用する。
• 分離性に関する条件を導くために、[ENO]におけるグローバル次元およびDrinfeld中心の単純性に関する結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の体上の多重量ファージョンカテゴリにおける単純代数の構造は何か？
• RQ2 このようなカテゴリにおいて、単純代数が分離的であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 ファージョンカテゴリにおける単純代数の次元は、その分離性とどのように関係するか？
• RQ4 Drinfeld中心の単純性が、代数の分離性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 分離性が、単純代数の次元が非ゼロであることへと還元される状況はどのようなものか？

主な発見

• 多重量ファージョンカテゴリにおける単純代数は、Drinfeld中心が単純である限り、分離的であるための唯一の障害は不完全体拡張に起因するとき、かつそのときに限り分離的である。
• 単純代数は、双対と同型を用いて定義される次元が非ゼロであるとき、かつそのときに限り分離的である。
• ファージョンカテゴリ $\mathcal{C}$ のグローバル次元は、$\mathcal{C} \boxtimes \mathcal{C}^{\mathrm{rev}}$ における $[\mathbf{1}, \mathbf{1}]$ の次元として定義され、これは $\mathfrak{Z}(\mathcal{C})$ が単純であるときにかつそのときに限り非ゼロである。
• 特性がゼロのとき、多重量ファージョンカテゴリにおけるすべての単純代数は分離的である。これはグローバル次元が常に非ゼロであるためである。
• 完璧体では、多重量ファージョンカテゴリ上の単純モジュールカテゴリ間の関手の圏は、Drinfeld中心が単純であるか、特性がゼロであれば単純である。