[論文レビュー] Semisimple Frobenius structures at higher genus

Alexander Givental|ArXiv.org|Aug 9, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 58

ひとこと要約

本稿は、固定点が孤立するトーラス作用の等化Gromov-Witten理論を用いて、一般に半単純な量子コhomologyをもつシンプレクティック多様体の高(genus) Gromov-Witten不変量に対する普遍的公式を提案する。この公式は、genus 0 のFrobenius多様体をtau関数の構成により高(genus)に拡張し、高(genus)のポテンシャルをgenus 0 のデータとベルヌーイ数を用いて表現する。また、Deligne-Mumfordモジュライ空間の位相からの普遍的制約を、予想として満たす。

ABSTRACT

We describe genus g>1 potentials of semisimple Frobenius structures. Our formula can be considered as a definition in the axiomatic context of Frobenius manifolds. In Gromov-Witten theory, it becomes a conjecture expressing higher genus GW-invariants in terms of genus 0 GW-invariants of symplectic manifolds with generically semisimple quantum cup-product. The conjecture is supported by the corresponding theorem about equivariant GW-invariants of tori actions with isolated fixed points. The parallel theory of gravitational descendents is also presented.

研究の動機と目的

• 半単純Frobenius多様体構造を用いて、2次元トポロジカル場理論の公理的枠組みをgenus 0から高(genus)に拡張すること。
• 等化Gromov-Witten理論の文脈において、重力的後代（gravitational descendants）を伴う高(genus) Gromov-Witten不変量の明示的公式を導出すること。
• コンパクトなシンプレクティック多様体の量子カップ積が半単純である場合、その高(genus)不変量が普遍的にgenus 0不変量で表現可能であると予想すること。
• 2次元トポロジカル場理論の普遍的制約が、Deligne-Mumfordモジュライ空間の幾何とどのように関連するかを特定すること。

提案手法

• 固定点が孤立するトーラス作用の等化Gromov-Witten理論を用いて、高(genus)ポテンシャルを計算する。
• 生成関数とtau関数の手法を用い、1つの形式的級数にgenus g不変量を符号化する。
• 重力的後代を補償するため、ベルヌーイ数を含む指数的補正を用いたKontsevich-Witten関数の変形を採用する。
• 高(genus)ポテンシャルを、genus 0の量子乗法的作用素の行列値関数の行列式および指数関数として表す普遍的公式（22）を導出する。
• フーリエ変換と行列Airy積分表現を用いて、tau関数を経路積分および多行列モデルの形に再定式化する。
• 標準的平坦接続の存在と半単純Frobenius多様体の構造に依拠し、ポテンシャルの普遍的形を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般に半単純な量子コhomologyをもつシンプレクティック多様体の高(genus) Gromov-Witten不変量は、普遍的にgenus 0不変量で表現可能か？
• RQ2 高(genus)における重力的後代は、genus 0におけるFrobenius多様体の構造とどのように関係するか？
• RQ3 ベルヌーイ数は、genus 0ポテンシャルを修正して全高(genus) tau関数を得るために果たす役割は何か？
• RQ4 2次元トポロジカル場理論の普遍的制約は、Deligne-Mumfordモジュライ空間の位相からどの程度自然に生じるか？
• RQ5 提案された公式は、等化Gromov-Witten理論の非等化極限から導出可能か？その条件は何か？

主な発見

• 本稿は、高(genus) Gromov-Wittenポテンシャルをgenus 0の量子コhomologyから導かれる行列値関数の行列式および指数関数として表す普遍的公式（22）を提案する。
• 公式は、ベルヌーイ数を含む変形を経てKontsevich-Witten関数を補正することにより、重力的後代を組み込む。特に指数部に、exp(u/z + B₂s₁z/2! + B₄s₂z³/4! + ...) の形が現れる。
• 点空間 X=pt の場合、公式は既知のHodge交差数の母関数に簡約され、最も単純な場合での一貫性が確認される。
• 得られたtau関数は、ptの高(genus)ポテンシャルの標準的生成関数と一致し、t₀=t₁=0のときF^g_pt が g=0,1 で消えること、g≥2 で希釈フロー（dilaton flow）の下で次数 2−2g の同次的であることが示される。
• この構成はVirasoro制約と整合しており、複素射影空間およびその積についてのVirasoro予想を示唆する。
• この手法は表現論的定式化を提供し、自動的にgenus 0およびgenus 1ポテンシャルを回復し、全級数 ∑_{g≥0} ℏ^{g−1} F^g に対する完全なtau関数を導出する。