[論文レビュー] Semisimple types for p-adic classical groups

Michitaka Miyauchi, Shaun Stevens|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、奇数の残余特徴を持つ局所体上のp進古典的群（シンプレクティック群、ユニタリ群、特殊直交群）に対して、Bushnell–Kutzkoのカバー理論を用いて半単純型を構成する。最大のレヴィ部分群に対して、関連するヘッケ代数がアーベル的であるか、無限大二面体群上の一般ヘッケ代数であることを証明し、パラメータはLusztigの結果により計算可能である。

ABSTRACT

We construct, for any symplectic, unitary or special orthogonal group over a locally compact nonarchimedean local field of odd residual characteristic, a type for each Bernstein component of the category of smooth representations, using Bushnell--Kutzko's theory of covers. Moreover, for a component corresponding to a cuspidal representation of a maximal Levi subgroup, we prove that the Hecke algebra is either abelian, or a generic Hecke algebra on an infinite dihedral group, with parameters which are, at least in principle, computable via results of Lusztig.

研究の動機と目的

• p進古典的群の滑らかな表現の型の理論を、既知のケースを超えて、奇数の残余特徴を持つ群へと拡張すること。
• 古典的群の各ベルンシュタインブロック $\mathfrak{R}^\mathfrak{s}(G)$ に対して、明示的な半単純型 $({\rm J}, \rho)$ を構成すること。
• 最大のレヴィ部分群に関連する型のヘッケ代数 $\mathscr{H}(G, \lambda)$ の構造を特定すること。
• Lusztigの有限再帰的群に関する結果を用いて、ヘッケ代数のパラメータを計算可能な枠組みで提供すること。

提案手法

• Bushnell–Kutzkoのカバー理論を適用し、レヴィ部分群上の非可約表現から完全な群への型の上昇を行う。
• $({\rm J}, \lambda)$ を $\mathfrak{s}_{\rm M}$-型 $({\rm J} \cap {\rm M}, \lambda|_{{\rm J} \cap {\rm M}})$ のカバーとして構成する。
• 巡回的商が2次の部分群の鎖 ${{\rm K}_i}$ における誘導と制限を用いて、ヘッケ代数間の補助を保つ同型を確立する。
• 帰納的構造を活用し、多重度が1の誘導によって誘導される同型を介して $\mathscr{H}(G, \lambda_{\rm P}^*) \simeq \mathscr{H}(G, \lambda_{\rm P})$ を示す。
• $\chi_0$ および $\mathscr{H}(\mathscr{G}_i, \rho_{\rm M}^\mathsf{o} \chi_0)$ を用いて、ヘッケ代数のパラメータの計算を二次の特徴と有限ヘッケ代数に還元する。
• Lusztigの結果を活用し、一般ヘッケ代数の関係 $(T_i - q_i)(T_i + 1) = 0$ におけるパラメータ $q_i$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の残余特徴を持つp進古典的群のすべてのベルンシュタインブロックに対して、半単純型を体系的に構成できるか？
• RQ2 レヴィ部分群 $\rm M$ が最大の真の部分群であるとき、ヘッケ代数 $\mathscr{H}(G, \lambda)$ の構造はいかなるものか？
• RQ3 ヘッケ代数のパラメータ $q_i$ は、基になる群と型の表現論的データとどのように関係するか？
• RQ4 有限再帰的群に関する既知の結果を用いて、ヘッケ代数のパラメータを明示的に計算できるか？
• RQ5 最大のレヴィ部分群に対して用いられた手法を、非最大のレヴィ部分群へと一般化できる範囲はどの程度か？

主な発見

• 任意の非可換局所体上のシンプレクティック群、ユニタリ群、特殊直交群に対して、奇数の残余特徴を持つ場合、各ベルンシュタインブロックに対して $\mathfrak{s}$-型 $({\rm J}, \lambda)$ が構成される。
• $({\rm J}, \lambda)$ は $\mathfrak{s}_{\rm M}$-型 $({\rm J} \cap {\rm M}, \lambda|_{{\rm J} \cap {\rm M}})$ のカバーであるため、ベルンシュタイン分解と整合性を持つ。
• $\rm M$ が最大の真のレヴィ部分群であるとき、ヘッケ代数 $\mathscr{H}(G, \lambda)$ はアーベル的（$\mathbb{C}[X^{\pm 1}]$ に同型）であるか、無限大二面体群上の一般ヘッケ代数である。
• 非アーベルの場合、ヘッケ代数は生成元 $T_0, T_1$ を持ち、$(T_i - q_i)(T_i + 1) = 0$ を満たし、$q_i \in q_{\mathsf{o}}^{\mathbb{Z}}$ である。
• パラメータ $q_i$ はLusztigの有限再帰的群に関する結果を用いて計算可能であり、特に二次の特徴 $\chi_0$ およびヘッケ代数 $\mathscr{H}(\mathscr{G}_i, \rho_{\rm M}^\mathsf{o} \chi_0)$ を通じて得られる。
• この結果により、特に $\rm N_G(\mathfrak{s}_{\rm M}) \neq \rm M$ の場合に、L-パック内の非可約表現を明示的に計算可能にする。