[論文レビュー] Semisimple Zariski closure of Coxeter groups

Yves Cornulier|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非アフィンで非可約なコクセター群の幾何的表現が、ティーツ形式の直交群に写されたとき、その忠実性についてビンバーグの結果の新しい証明を提供する。相対カジダンの性質(T)を用いることで、このような群が自明な可解的根基を持ち、その縮小C*-代数が単純で一意な正規化されたトレースを持つことを示し、ティーツ形式の非退化性を仮定する以前の結果を拡張する。

ABSTRACT

Let W be an irreducible, finitely generated Coxeter group. The geometric representation provides an discrete embedding in the orthogonal group of the so-called Tits form. One can look at the representation modulo the kernel of this form; we give a new proof of the following result of Vinberg: if W is non-affine, then this representation remains faithful. Our proof uses relative Kazhdan Property (T). The following corollary was only known to hold when the Tits form is non-degenerate: the reduced C*-algebra of W is simple with a unique normalized trace. Some other corollaries are pointed out.

研究の動機と目的

• 非アフィンで非可約なコクセター群の幾何的表現の忠実性に関するビンバーグの結果の新しい証明を提供すること。
• ティーツ形式が非退化である場合に限って成立していた、コクセター群の縮小C*-代数が単純で一意な正規化されたトレースを持つという既知の結果を、非退化でない場合へ拡張すること。
• 相対カジダン性質(T)を用いて、非アフィンで非可約なコクセター群が自明な可解的根基を持つことを確立すること。
• 原始的コクセター群を特徴づけ、その構造と縮小C*-代数の単純性との関係を明示すること。
• 非アフィンコクセター群が直交群内でのザリスキ閉包が半単純でザリスキ的に稠密であることを示すこと。

提案手法

• 対称的双線形形式 $-\cos(\pi/m_{st})$ を用いて定義されるティーツ形式の直交群へのコクセター群の幾何的表現を利用する。
• 相対カジダン性質(T)を適用し、$(W, \Lambda)$ が相対性質(T)を持つような任意の部分群 $\Lambda \subset W$ は有限であることを示し、これにより純粋なトーショントルション部分群が自明になる。
• 群 $W$ が射影空間 $P(V^*)$ 上で不変測度を保存しないことを示すことで、問題を還元する。この際、不変測度に関するフルステンバーグの結果を用いる。
• 群 $\mathrm{O}_0(\bar{B})$ が $T_f$ 上に作用する連結半単純群が不変ベクトルを持たないという事実を活用し、不変測度の存在を矛盾させる。
• 有限体積部分群および $W \ltimes V$ 内の共通コンpact埋め込みにおいて、相対性質(T)が保存されることを用い、性質を元の群へと移す。
• 既知の結果を適用する：連結半単純リー群にザリスキ的に稠密に埋め込まれ、コンパクト因子を持たない離散群の縮小C*-代数は、単純で一意な正規化されたトレースを持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アフィンで非可約なコクセター群の幾何的表現は、ティーツ形式の核に制限されたときにも忠実であるか？
• RQ2 幾何的または代数的技法ではなく、相対カジダン性質(T)を用いて忠実性の結果を再証明できるか？
• RQ3 コクセター群の縮小C*-代数が単純で一意な正規化されたトレースを持つための条件は何か？
• RQ4 非アフィンコクセター群の可解的根基の構造はいかなるものか？
• RQ5 コクセター群が最大部分群 $\Lambda$ について、商空間 $W/\Lambda$ に忠実に作用するのはどのような場合か？

主な発見

• 非アフィンで非可約なコクセター群の幾何的表現は、形式が退化していてもティーツ形式の直交群において忠実のままである。
• すべての非アフィンで非可約なコクセター群は、自明な可解的根基を持つ。すなわち $R(W) = \{1\}$ である。
• コクセター群の縮小C*-代数が単純で一意な正規化されたトレースを持つのは、すべてのその非可約因子が非アフィンである場合に限る。
• 無限で有限生成なコクセター群は、原始的であるための必要十分条件は、非可約かつ非アフィンであることである。
• 非アフィンの場合、群 $W$ は $p \geq 2$, $q \geq 1$ を満たす半単純直交群 $\mathrm{O}_0(p,q)$ にザリスキ的に稠密に埋め込まれる。
• 証明により、$\alpha(W) \cap T_f$ が生成する部分群の $P(V^*)$ 上の作用が、いかなる確率測度も保存しないことが示され、これが相対性質(T)の議論の鍵となる。