[論文レビュー] Semistable Higgs bundles and representations of algebraic fundamental groups: Positive characteristic case

Guitang Lan, Mao Sheng+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、正の特性における滑らかな射影的スキームの閉じたファイバー上に存在する、自明なチチェン類をもつランク2の半安定Higgsバンドルと、その一般ファイバーの代数的基本群の2次元のクリスタリン表現との間の対応を確立する。中間的な構造として、準周期的および強くHiggs半安定なHiggsバンドルを導入し、準周期的Higgsバンドルが真の表現を導くこと、および自明なチチェン類をもつ強くHiggs半安定なバンドルが準周期的ものと同値であること、さらにすべての半安定Higgsバンドルが強くHiggs半安定であるという予想を支持する。

ABSTRACT

Let $k$ be an algebraic closure of finite fields with odd characteristic $p$ and a smooth projective scheme $\mathbf{X}/W(k)$. Let $\mathbf{X}^0$ be its generic fiber and $X$ the closed fiber. For $\mathbf{X}^0$ a curve Faltings conjectured that semistable Higgs bundles of slope zero over $\mathbf{X}^0_{\mathbb{C}_p}$ correspond to genuine representations of the algebraic fundamental group of $\mathbf{X}^0_{\mathbb{C}_p}$ in his $p$-adic Simpson correspondence. This paper intends to study the conjecture in the characteristic $p$ setting. Among other results, we show that isomorphism classes of rank two semistable Higgs bundles with trivial chern classes over $X$ are associated to isomorphism classes of two dimensional genuine representations of $\mathbf{X}^0$ and the image of the association contains all irreducible crystalline representations. We introduce intermediate notions strongly semistable Higgs bundles and quasi-periodic Higgs bundles between semistable Higgs bundles and representations of algebraic fundamental groups. We show that quasi-periodic Higgs bundles give rise to genuine representations and strongly Higgs semistable are equivalent to quasi-periodic. We conjecture that a Higgs semistable bundle is indeed strongly Higgs semistable.

研究の動機と目的

• Faltingsの$p$-進Simpson対応を正の特性の設定へ拡張すること。
• 正の特性における半安定Higgsバンドルと代数的基本群の表現との間の対応を確立すること。
• 中間的な概念として、強くHiggs半安定および準周期的Higgsバンドルを導入し、それらがHiggsバンドルと表現の間をつなぐ橋渡しとなることの研究を行うこと。
• ランク2の半安定Higgsバンドルが自明なチチェン類をもつことと、$\pi_1(\mathbf{X}^0)$のクリスタリン表現が一対一に対応することを証明すること。
• すべての半安定Higgsバンドルが強くHiggs半安定であるという予想を提示し、ランク2の場合に既知の結果を一般化すること。

提案手法

• 正の特性における強い半安定ベクトルバンドルの一般化として、強くHiggs半安定なHiggsバンドルの概念を導入すること。
• 繰り返しFrobenius引き戻しの下での挙動を捉えるために、周期的Higgs部分バンドルの一般化として、準周期的Higgsバンドルを定義すること。
• $(e,f)$型の準周期的Higgs-de Rham系列と$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_{p^f})}$へのクリスタリン表現との間の関手を構成し、$e=0$の場合に同値性を示すこと。
• 逆Cartier変換および$\mathcal{MF}^\nabla$-圏の理論を用いて、Higgsバンドルと$p$-進表現との関係を確立すること。
• Higgsバンドルが準周期的であることと、自明なチチェン類をもつ強くHiggs半安定なバンドルであることとは同値であることを証明すること。
• 理論を応用して、閉じたファイバー上に存在する任意のランク2の半安定Higgsバンドルが自明なチチェン類をもつ場合、$\pi_1(\mathbf{X}^0)$のクリスタリン表現から生じることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性において、$p$-進Simpson対応と類似した対応が成立するか？
• RQ2 正の特性におけるすべての半安定Higgsバンドルが強くHiggs半安定であるか？
• RQ3 準周期的Higgsバンドルを用いて、代数的基本群の真の表現を構成できるか？
• RQ4 強くHiggs半安定バンドルと準周期的Higgsバンドルとの間の関係は何か？
• RQ5 クリスタリン表現が閉じたファイバーへの特異化写像を通じて因数分解する条件は何か？

主な発見

• $\pi_1(\mathbf{X}^0)$の非可約クリスタリン$\mathbb{F}_{p^f}$-表現の同型類と、周期$f$の周期的Higgs安定バンドルの同型類との間には、全単射の対応が存在する。
• 準周期的Higgsバンドルは自明なチチェン類をもつ強くHiggs半安定バンドルであり、逆に、自明なチチェン類をもつ強くHiggs半安定Higgsバンドルは準周期的である。
• ランク2のHiggsバンドルにおいて、半安定性は強いHiggs半安定性を含む。これは、すべての半安定Higgsバンドルが強くHiggs半安定であるという一般予想を支持する。
• ランク2の半安定Higgsバンドルが自明なチチェン類をもつことと、$\mathrm{GL}_2(k)$への$\pi_1(\mathbf{X}^0)$のクリスタリン表現との間の対応は、非可約クリスタリン表現の集合へ全射的である。
• フィルトレーション付き$\mathcal{MF}^\nabla$-対象の各グレーディング成分における次数0のHiggs部分バンドルは、自明なチチェン類をもつ強くHiggs半安定である。
• クリスタリン表現$\tau$が特異化写像$\pi_1(\mathbf{X}^0) \to \pi_1(X)$を通じて因数分解するための必要十分条件は、そのフィルトレーションが自明であることである。