[論文レビュー] Semitotal domination in trees

Zhuang, Wei, Hao, Guoliang|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、木における半全全ドミネーティング数の下界を確立し、nが頂点数でlが葉の数であるとき、γₜ₂(T) ≥ 2(n − l + 2)/5 が成り立つことを証明する。また、ドミネーティング数γ(T)と半全全ドミネーティング数γₜ₂(T)が等しい木を完全に特徴付け、これらは単一の頂点から出発し、4つの特定の操作を用いて構築可能な木に限ることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we study a parameter that is squeezed between arguably the two important domination parameters, namely the domination number, $γ(G)$, and the total domination number, $γ_t(G)$. A set $S$ of vertices in $G$ is a semitotal dominating set of $G$ if it is a dominating set of $G$ and every vertex in S is within distance $2$ of another vertex of $S$. The semitotal domination number, $γ_{t2}(G)$, is the minimum cardinality of a semitotal dominating set of $G$. We observe that $γ(G)\leq γ_{t2}(G)\leq γ_t(G)$. In this paper, we give a lower bound for the semitotal domination number of trees and we characterize the extremal trees. In addition, we characterize trees with equal domination and semitotal domination numbers.

研究の動機と目的

• 木における半全全ドミネーティング数の非自明な下界を確立すること。
• ドミネーティング数γ(T)が半全全ドミネーティング数γₜ₂(T)に等しいすべての木を特徴付けること。
• 半全全ドミネーティング数の下界に達する極値木を特定すること。
• 根付き木に対する4つの特定の操作を用いた(γ, γₜ₂)-木の構成的特徴付けを提供すること。

提案手法

• 木Tの頂点数nについての帰納法を用い、n ≤ 8の小規模なnに対する基本ケースを扱う。
• 観察2.1を適用して、葉を含まないγₜ₂集合の存在を保証し、構造的解析を単純化する。
• 直径が4以上である木における最長路を分析し、頂点の次数および隣接構造に注目する。
• 特定の頂点や部分木を削除する構造的分解を実施し、得られる部分木におけるγₜ₂およびγ値を分析する。
• 頂点の次数および隣接タイプに基づき、4つの操作(O₁–O₄)を導入し、より小さな木からすべての(γ, γₜ₂)-木を生成する。
• 帰納的推論を用いて、任意の(γ, γₜ₂)-木がこれらの操作によって構築可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 nとlの関数として、木における半全全ドミネーティング数の最良の可能な下界は何か？
• RQ2 どの木がγ(T) = γₜ₂(T)を満たし、構造的にどのように特徴付けられるか？
• RQ3 ドミネーティング数と半全全ドミネーティング数が等しいすべての木は、有限個の構成的操作によって生成可能か？
• RQ4 γₜ₂集合に属する頂点の次数および隣接構成が、全体の木構造にどのような制約を課えるか？

主な発見

• 任意の木Tについて、γₜ₂(T) ≥ 2(n(T) − l(T) + 2)/5 が成り立ち、等号成立はTが極値木である場合に限る。
• γ(T) = γₜ₂(T)を満たすすべての木は、正確に4つの特定の操作(O₁–O₄)を用いて単一の頂点から構築可能な木に限る。
• 下界に達する極値木は、すべてのサポート頂点の次数が2であり、導出された不等式が等号で成立する構造を持つ木に限る。
• 木のγₜ₂集合は常に葉を含まないように選べるため、構造的解析が簡略化される。
• (γ, γₜ₂)-木の特徴付けは完全かつ構成的である：このような木は、4つの操作によって生成される集合Oに正確に含まれる。
• 証明は帰納的分解に依存しており、特定の頂点や部分木を削除しても、残りの木においてγ = γₜ₂の等式が保たれる。