[論文レビュー] Sending quantum entanglement through noisy channels

Benjamin Schumacher|ArXiv.org|Apr 22, 1996

Quantum Information and Cryptography参考文献 6被引用数 32

ひとこと要約

本稿では、ノイズのある量子チャネルを通じた量子もつれの保存精度を評価するためのエンタングルメント忠実度 $F_e$ とエントロピー生成 $S_e$ を導入する。$F_e$ と $S_e$ が系 $Q$ のダイナミクスにのみ依存し、参照系 $R$ に依存しないことを証明し、それらの間にファノに類似した不等式を確立することで、ノイズ（エントロピー生成）が高くなるとエンタングルメント忠実度が制限されることを示した。本結果は、量子エラー訂正および量子暗号のセキュリティに関する理解を深める。

ABSTRACT

This paper addresses some general questions of quantum information theory arising from the transmission of quantum entanglement through (possibly noisy) quantum channels. A pure entangled state is prepared of a pair of systems $R$ and $Q$, after which $Q$ is subjected to a dynamical evolution given by the superoperator $\superop^{Q}$. Two interesting quantities can be defined for this process: the entanglement fidelity $F_{e}$ and the entropy production $S_{e}$. It turns out that neither of these quantities depends in any way on the system $R$, but only on the initial state and dynamical evolution of $Q$. $F_{e}$ and $S_{e}$ are related to various other fidelities and entropies, and are connected by an inequality reminiscent of the Fano inequality of classical information theory. Some insight can be gained from these techniques into the security of quantum cryptographic protocols and the nature of quantum error-correcting codes.

研究の動機と目的

• ノイズのある量子チャネルが量子もつれをどの程度正確に保持するかを評価するための新しい指標、エンタングルメント忠実度 $F_e$ とエントロピー生成 $S_e$ を定義・分析すること。
• $F_e$ と $S_e$ が参照系 $R$ に依存せず、系 $Q$ のダイナミクスにのみ依存することを示し、もつれの源に依存しないチャネルの特徴付けを可能にすること。
• $F_e$ と $S_e$ を結ぶ基本的な不等式を確立し、古典的ファノ不等式に類似した形で、量子ノイズがもつれの保持を制限することを示すこと。
• これらの新しい指標を通じて、量子暗号プロトコルのセキュリティおよび量子エラー訂正符号の構造に関する洞察を提供すること。

提案手法

• エンタングルメント忠実度 $F_e = \big\bra{\tilde{\rho}^{RQ'}}\big\ra$ を、チャネルの進化後に得られる最終状態 $\rho^{RQ'}$ と初期のもつれ状態 $|\tilde{\rho}^{RQ}\rangle$ の重なりとして定義する。
• エントロピー生成 $S_e$ を、系 $Q$ と環境 $E$ 間の情報交換の尺度として導入し、チャネル内の量子ノイズを定量化する。
• 完全正値性とトレース保存性を保証する一般の量子チャネルを表す演算子和表現 $\mathcal{E}^Q(\rho^Q) = \sum_\mu A^Q_\mu \rho^Q (A^Q_\mu)^\dagger$ を用いる。
• 環境 $E$ を含むより大きなヒルベルト空間に埋め込むことで、チャネルのユニタリ表現を導出する。この際、結合系 $RQ'$ の純粋状態への純化を用いる。
• 演算子和表現と $\rho^{RQ'}$ の純粋状態集合の間の一対一対応を確立し、異なる表現が環境上のユニタリ変換に起因することを示す。
• $F_e \leq \bar{F}$ を証明する。ここで $\bar{F}$ は純粋状態の集合上での平均忠実度であり、エンタングルメント忠実度と標準的なチャネル忠実度を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズのある量子チャネルを通じたもつれ伝送の忠実度を、系 $Q$ に対するチャネルの影響を明確に分離できる形でどのように定量化できるか。
• RQ2 環境がもつれの劣化に果たす役割は何か。また、参照系 $R$ に依存せずにその影響をどのように定量化できるか。
• RQ3 エンタングルメント忠実度とチャネルが導入するノイズ量（エントロピー生成）の間に、根本的なトレードオフが存在するか。
• RQ4 新しい指標 $F_e$ と $S_e$ は、平均忠実度や量子エラー訂正といった、量子情報理論の既存概念とどのように関係しているか。
• RQ5 これらの新しいもつれに基づく指標を通じて、量子エラー訂正符号の構造や量子暗号のセキュリティをより深く理解できるか。

主な発見

• エンタングルメント忠実度 $F_e$ は、初期状態および系 $Q$ のダイナミクスにのみ依存し、参照系 $R$ には依存しない。これにより、チャネル固有の指標となる。
• エントロピー生成 $S_e$ は、チャネルの進化中に環境と交換される情報量を定量化し、量子ノイズの尺度として機能する。
• ファノに類似した不等式が成立する：$F_e \leq 1 - \frac{1}{d} H(S_e)$。ここで $d$ は $Q$ のヒルベルト空間の次元である。この不等式により、エントロピー生成が高くなるとエンタングルメント忠実度が制限されることを示す。
• 純粋状態の集合上での平均忠実度 $\bar{F}$ は $F_e$ の上界をなしており、もつれを保持するチャネルは一般の純粋状態の情報保持に対しても優れていることを示唆する。
• チャネル $\mathcal{E}^Q$ の演算子和表現と $\rho^{RQ'}$ の純粋状態集合の間には一対一対応が成立し、異なる表現は環境上のユニタリ変換によって関係づけられる。
• $\rho^{RQ'}$ の純粋状態への純化から、チャネルのユニタリ表現を導出可能であり、すべてのこのような表現は環境のヒルベルト空間上のユニタリ変換を除いて同値である。