[論文レビュー] Sensitive dependence of Gibbs measures

Daniel Coronel, Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、低温における古典的格子系のギブズ測度が相互作用に対して感受性を示すことを示しており、滑らかまたはリプシッツ連続なポテンシャルにおける任意に小さな摂動が、結果として得られるギブズ測度に大きな揺らぎを引き起こすことを示している。2次元における有限状態系のための混沌とした温度依存性を確立し、チャゾッテスとホッフマンが提起した未解決問題を解決している。

ABSTRACT

Gibbs measures can behave chaotically as the temperature drops to zero. We observe that for some classical lattice systems there is a related phenomenon of sensitive dependence of Gibbs measures: An arbitrarily small perturbation of the interaction can produce significant fluctuations of low-temperature Gibbs measures. For the XY model we exhibit the sensitive dependence of Gibbs measures for a (nearest-neighbor) interaction given by a smooth function, and for perturbations that are small in the smooth category. We also exhibit the sensitive dependence of Gibbs measures for classical lattice systems with finite-state space. The interaction decreases exponentially as a function of the distance between sites; it is given by a Lipschitz continuous potential in the configuration space. The perturbations are small in the Lipschitz topology. As a by-product we obtain for the first time the chaotic temperature dependence in dimension 2 for a finite-state space model, and solve some problems stated by Chazottes and Hochman.

研究の動機と目的

• 古典的格子系における低温における相互作用ポテンシャルの微小な変化がギブズ測度に与える影響を調査すること。
• 滑らかまたはリプシッツ連続トポロジーにおける任意に小さな摂動でさえも、ギブズ測度が混沌とした依存性を示すことを実証すること。
• チャゾッテスとホッフマンが提示した有限状態格子モデルにおける混沌とした温度依存性に関する未解決問題を解決すること。
• 指数的減衰する相互作用を有する有限状態系において、2次元で混沌とした温度依存性の初例を確立すること。

提案手法

• 滑らかな最近接相互作用を有するXYモデルのギブズ測度を、滑らかトポロジーにおける微小摂動の下で分析すること。
• 配置空間におけるリプシッツ連続ポテンシャルと指数的減衰する相互作用を有する有限状態格子系を構築すること。
• 摂動理論と熱力学的形式主義を用いて、相互作用パラメータの変化に対するギブズ測度の感受性を研究すること。
• リプシッツトポロジーを用いて微小摂動を定量化し、それらが得られる平衡測度に与える影響を評価すること。
• 統計力学および力学系の結果を応用し、低温領域における混沌とした揺らぎの出現を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用ポテンシャルにおける任意に小さな摂動が、古典的格子系の低温ギブズ測度に顕著な変化をもたらす可能性があるか？
• RQ2 XYモデルは、その相互作用に対する微小な滑らかな摂動の下でも、ギブズ測度の感受性を示すか？
• RQ3 指数的減衰する相互作用を有する2次元有限状態格子モデルで、混沌とした温度依存性を観測できるか？
• RQ4 リプシッツトポロジーは、相互作用の変化に対するギブズ測度の感受性を特徴付ける役割を果たすか？
• RQ5 結果は、チャゾッテスとホッフマンが提起した混沌とした温度依存性に関する未解決問題をどのように解決するか？

主な発見

• この論文は、XYモデルにおけるギブズ測度が、任意に小さな滑らかな摂動の下でも相互作用に対して感受性を示すことを確立している。
• 指数的減衰する相互作用を有する有限状態格子系では、リプシッツトポロジーにおける微小な摂動が、低温ギブズ測度に顕著な揺らぎを引き起こす。
• 本研究は、有限状態系における2次元での混沌とした温度依存性の初例を提供している。
• 結果は、チャゾッテスとホッフマンが提起した、有限状態モデルにおける混沌とした温度依存性の存在に関する長年の未解決問題を解決している。
• 解析により、ギブズ測度の感受性が、相互作用構造の最小限の変更に対しても頑健であることが確認され、低温平衡状態における本質的不安定性が浮き彫りにされた。