[論文レビュー] Sensitivity Analysis of an Inverse Problem for the Wave Equation with Caustics

Gang Bao, Hai Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、折りたたみカウスティクスを伴う状況ですらも、境界測定値から波動方程式における速度場を回復する逆問題に対して、局所的安定性推定を確立する。行列値重みを備えた測地線X線変換を導入し、フーリエ積分作用素理論を活用することで、ドメインからノイマンへの写像（Dirichlet-to-Neumann map）の小さな摂動が、折りたたみ正則性条件の下で速度場の小さな摂動を引き起こすことを証明する。

ABSTRACT

The paper investigates the sensitivity of the inverse problem of recovering the velocity field in a bounded domain from the boundary dynamic Dirichlet-to-Neumann map (DDtN) for the wave equation. Three main results are obtained: (1) assuming that two velocity fields are non-trapping and are equal to a constant near the boundary, it is shown that the two induced scattering relations must be identical if their corresponding DDtN maps are sufficiently close; (2) a geodesic X-ray transform operator with matrix-valued weight is introduced by linearizing the operator which associates each velocity field with its induced Hamiltonian flow. A selected set of geodesics whose conormal bundle can cover the cotangent space at an interior point is used to recover the singularity of the X-ray transformed function at the point; a local stability estimate is established for this case. Although fold caustics are allowed along these geodesics, it is required that these caustics contribute to a smoother term in the transform than the point itself. The existence of such a set of geodesics is guaranteed under some natural assumptions in dimension greater than or equal to three by the classification result on caustics and regularity theory of Fourier Integral Operators. The interior point with the above required set of geodesics is called "fold-regular"; (3) assuming that a background velocity field with every interior point fold-regular is fixed and another velocity field is sufficiently close to it and satisfies a certain orthogonality condition, it is shown that if the two corresponding DDtN maps are sufficiently close then they must be equal.

研究の動機と目的

• 非単純な計量が存在する場合、特にカウスティクスを伴う場合の逆波動伝搬問題の感度を扱う。
• カウスティクスや折りたたみ特異性を含まない標準的な「単純計量」仮定を超えて安定性結果を拡張する。
• 新規の行列値重み付きX線変換を導入することで、折りたたみカウスティクスを伴う状況における局所的安定性推定の枠組みを構築する。
• ハミルトニアンフローに特異性を引き起こす幾何的構造がある場合の、速度場回復プロセスの正則性を特定する。
• 境界上のドメインからノイマンへの写像の小さな変化が、回復された速度場の小さな変化を引き起こす条件を確立する。

提案手法

• 速度場から誘導されるハミルトニアンフローへの写像を線形化し、行列値重みを備えた測地線X線変換を導出する。
• 「折りたたみ正則」な内部点の概念を導入し、制御された折りたたみカウスティクスを有する測地線の集合が余接空間を被覆可能である条件を定義する。
• ガウスビーム準モードを用いて微局所的パラメトリックスを構築し、振動積分推定を用いてそれらの相互作用を分析する。
• フーリエ積分作用素理論を応用し、X線変換の正則性を分析し、折りたたみ正則性の下で安定性推定を導出する。
• 漸近展開と誤差境界を用いて、ガウスビーム成分およびその微分の差の$L^2$ノルムを推定する。
• 周波数の逆数$ ho = rac{1}{ ext{周波数}}$に従う$rac{1}{ ho}$型の減衰を用いて、摂動ありと摂動なしのビーム間の差をバインドすることで、X線変換の$L^2$安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 速度場が折りたたみカウスティクスを誘発する場合、逆波動方程式問題に対して安定性推定を確立できるか？
• RQ2 速度場にどのような幾何的条件が満たされれば、ドメインからノイマンへの写像が、小さな摂動の範囲で速度場を一意に特定できるか？
• RQ3 折りたたみカウスティクスの存在が、波動伝搬の逆問題の正則性および安定性にどのように影響するか？
• RQ4 行列値重み付き測地線X線変換は、カウスティクスが存在する状況でも速度場の特異性を回復できるか？
• RQ5 二つの速度場が、それらに対応するドメインからノイマンへの写像が十分に近い場合に、等しくなるための条件は何か？

主な発見

• 二つの非捕獲型速度場が境界付近で定数に等しく、かつそれに対応するドメインからノイマンへの写像が十分に近い場合、それらが誘導する散乱関係は同一でなければならない。
• 行列値重みを備えた測地線X線変換が導入され、折りたたみ正則点における速度場に対して局所的安定性推定が確立された。
• 測地線に沿って折りたたみカウスティクスが許容されるが、それらが変換の点自体よりも滑らかな項を寄与する限りよい。
• 自然な仮定の下で、次元$d \geq 3$において、カウスティクスの分類とフーリエ積分作用素の正則性理論を用いて、折りたたみ正則性条件を満たす測地線の集合の存在が保証される。
• 固定された背景速度場のすべての内部点が折りたたみ正則である場合、別の速度場が十分に近く、直交性条件を満たすならば、ドメインからノイマンへの写像が等しければ速度場も等しくなる。
• 摂動ありと摂動なしのガウスビーム成分の差の$L^2$ノルムは、$ ho = rac{1}{ ext{周波数}}$に従い$rac{1}{ ho}$の速度で減衰し、パラメトリックス構成の安定性が裏付けられた。