[論文レビュー] Sensitivity analysis of hybrid systems with state jumps with application to trajectory tracking

Alessandro Saccon, Nathan van de Wouw+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2014

Advanced Control Systems Optimization参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、状態ジャンプを伴うハイブリッドシステムにおける、初めての1次感度解析フレームワークを提案する。ジャンプ時刻の不一致を許容して摂動軌道を近似するための新たな誤差概念を導入している。線形二次調節器（LQR）制御を一般化し、状態リセットを伴うジャンプゲインとリカッチ方程式を組み込むことで、不連続な動的特性を有するハイブリッドシステムにおける時変参照軌道の局所的安定化を可能にする。

ABSTRACT

This paper addresses the sensitivity analysis for hybrid systems with discontinuous (jumping) state trajectories. We consider state-triggered jumps in the state evolution, potentially accompanied by mode switching in the control vector field as well. For a given trajectory with state jumps, we show how to construct an approximation of a nearby perturbed trajectory corresponding to a small variation of the initial condition and input. A major complication in the construction of such an approximation is that, in general, the jump times corresponding to a nearby perturbed trajectory are not equal to those of the nominal one. The main contribution of this work is the development of a notion of error to clarify in which sense the approximate trajectory is, at each instant of time, a firstorder approximation of the perturbed trajectory. This notion of error naturally finds application in the (local) tracking problem of a time-varying reference trajectory of a hybrid system. To illustrate the possible use of this new error definition in the context of trajectory tracking, we outline how the standard linear trajectory tracking control for nonlinear systems -based on linear quadratic regulator (LQR) theory to compute the optimal feedback gain- could be generalized for hybrid systems.

研究の動機と目的

• ノーマル軌道と摂動軌道の間でジャンプ時刻が一致しないハイブリッドシステムにおける感度解析の課題に対処すること。
• 不連続な状態変化とモード切り替えを伴う状況下でも、摂動軌道の厳密な1次近似を確立すること。
• ジャンプ時刻が異なる場合でも、各瞬間にノーマル軌道と摂動軌道を局所的に比較可能な、新たな誤差指標を定義すること。
• ジャンプダイナミクスと時変フィードバックゲインを組み込むことで、ハイブリッドシステムにおける軌道追従のための線形二次調節器（LQR）制御を一般化すること。
• 特に、参照軌道とプラントのジャンプ時刻が一致しない場合でも、時変参照軌道の局所的安定化を可能にする、状態トリガーによるジャンプを有するハイブリッドシステムにおける制御手法の開発

提案手法

• 微小摂動下での状態ジャンプを定量化するため、式（31）で定義されるジャンプゲイン行列 $ H $ を、陰関数定理を用いて導出する。
• ノーマル軌道と摂動軌道間の1次偏差を測る新たな誤差概念を導入し、時間シフトされたジャンプインスタントを考慮する。
• 状態ジャンプを伴うハイブリッドシステムのための2段階の線形二次調節器（LQR）定式化を提案し、区分線形ダイナミクスとジャンプ条件を含むリカッチ方程式を用いる。
• ジャンプの前後で2つの区間でシステムダイナミクスをモデル化し、状態遷移を $ z^+ = z^- + Hz^- $ で記述し、有限区間での最適制御問題を解く。
• フィードバックゲイン $ K(t) = R^{-1}B^T P(t) $ を導出する。ここで $ P(t) $ は、ジャンプ時刻でリセット条件 $ P^-(\tau) = (I+H)^T P^+(\tau)(I+H) $ を満たすリカッチ微分方程式を満たす。
• ジャンプ時刻が異なる場合でも、時間変動参照軌道の周囲でシステムを安定化するスイッチングフィードバック則を計算することで、軌道追従に応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノーマル軌道と摂動軌道のジャンプ時刻が一致しないハイブリッドシステムにおいて、1次近似された摂動軌道をどのように構築できるか？
• RQ2 不連続なダイナミクスを有するハイブリッドシステムにおいて、ノーマル軌道と摂動軌道を局所的に比較可能な、数学的に厳密かつ意味のある誤差定義とは何か？
• RQ3 標準的なLQRベースの軌道追従制御を、状態トリガーによるジャンプと非同期ジャンプイベントを有するハイブリッドシステムにどのように拡張できるか？
• RQ4 ハイブリッドシステムにおける不連続性を越えて感度を伝播させる役割を果たすジャンプゲイン行列 $ H $ とは何か？
• RQ5 リセット条件 $ P^-(\tau) = (I+H)^T P^+(\tau)(I+H) $ が、ハイブリッドLQRフレームワークにおける最適フィードバックゲインに与える影響は何か？

主な発見

• 本稿は、ジャンプ時刻が異なる場合でも、ハイブリッドシステムにおける状態ジャンプを伴うノーマル軌道と摂動軌道間の1次偏差を定量化する新たな誤差概念を確立した。
• 陰関数定理を用いて導出されたジャンプゲイン $ H $ は、不連続な状態遷移を越えて感度を正確に伝播可能にする。
• ジャンプ時刻にリセット条件を含むリカッチ方程式を備えた2区間LQR定式化が提案され、ジャンプを越えて値関数の連続性を保証する。
• 時間変動リカッチ方程式にジャンプ由来のリセットを組み込んだフィードバックゲイン $ K(t) $ が計算され、時変参照軌道の局所的安定化が可能になった。
• 本手法により、ジャンプダイナミクスを組み込むことで、標準LQR制御がハイブリッドシステムに一般化され、プラントと参照軌道のジャンプ時刻が不一致であっても、効果的な軌道追従が可能になった。
• 本手法は、軌道ミラーリング技術と整合しており、ハイブリッドシステムにおける2次感度解析への道筋を切り開いた。