[論文レビュー] Sensitivity, proximal extension and higher order almost automorphy

Xiangdong Ye, Tao Yu|arXiv (Cornell University)|May 4, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、厚さ、IP集合、有限IP集合などの集合族に関して、強力な$\mathcal{F}$-敏感性およびブロック$\mathcal{F}$-敏感性を導入することにより、最小的位相的力学系における新しいアウスランダー＝ヨルケ型二分法定理を確立する。最小系が強力な$\mathcal{F}_{fip}$-敏感性を有するか、それとも$\infty$-ステップニルファクターのほぼ1対1の拡張であるかの二択であることを証明し、同様に$\mathcal{F}_{ip}$および$\mathcal{F}_{t}$に対しても同様の結果を得る。これにより、近接性やほぼ1対1の拡張といった構造的性質と敏感性を結びつける。

ABSTRACT

Let $(X,T)$ be a topological dynamical system, and $\mathcal{F}$ be a family of subsets of $\mathbb{Z}_+$. $(X,T)$ is strongly $\mathcal{F}$-sensitive, if there is $δ>0$ such that for each non-empty open subset $U$, there are $x,y\in U$ with $\{n\in\mathbb{Z}_+: d(T^nx,T^ny)>δ\}\in\mathcal{F}$. Let $\mathcal{F}_t$ (resp. $\mathcal{F}_{ip}$, $\mathcal{F}_{fip}$) be consisting of thick sets (resp. IP-sets, subsets containing arbitrarily long finite IP-sets). The following Auslander-Yorke's type dichotomy theorems are obtained: (1) a minimal system is either strongly $\mathcal{F}_{fip}$-sensitive or an almost one-to-one extension of its $\infty$-step nilfactor. (2) a minimal system is either strongly $\mathcal{F}_{ip}$-sensitive or an almost one-to-one extension of its maximal distal factor. (3) a minimal system is either strongly $\mathcal{F}_{t}$-sensitive or a proximal extension of its maximal distal factor.

研究の動機と目的

• 位相的力学系における敏感性を一般化するために、$\mathbb{Z}_+$の部分集合族$\mathcal{F}$に対して強力な$\mathcal{F}$-敏感性およびブロック$\mathcal{F}$-敏感性を導入すること。
• 厚さ（$\mathcal{F}_t$）、IP集合（$\mathcal{F}_{ip}$）、任意に長い有限IP集合を含む集合（$\mathcal{F}_{fip}$）といった特定の族に基づく最小系における二分法定理を確立すること。
• 最小系が強力な$\mathcal{F}$-敏感性を有するかどうかを、最大等長的因子、ニルファクター、または距離因子に対するその拡張性質の観点から特徴づけること。
• 敏感性、近接性、およびほぼ1対1の拡張の関係を明らかにすること。特に高階のほぼ自己同型性および$\mathbf{RP}^{[d]}$関係の文脈において。

提案手法

• 強力な$\mathcal{F}$-敏感性を定義：任意の開集合$U$に対して、$x,y \in U$が存在し、$\{n \in \mathbb{Z}_+ : d(T^n x, T^n y) > \delta\}$が族$\mathcal{F}$に属することを要請する。
• ブロック$\mathcal{F}$-敏感性を定義：各$x$および近傍$U_x$に対して、$y \in U_x$が存在し、分離集合が任意に長い区間または有限IP集合を含むこと。
• 特定の構造的仮定の下で非敏感性を仮定した場合に矛盾を導くために、$\mathcal{F}_{Poin_d}$および$\mathcal{F}_{GP_d}$などの族のラマシー性質を用いる。
• 高階の局所近接関係$\mathbf{RP}^{[d]}$、特に$\mathbf{RP}^{[d]}[x] = x$の理論を用いて、最小系の構造を分析する。
• 最小系が強力な$\mathcal{F}_{fip}$-敏感性を有するか、それとも$\infty$-ステップニルファクターのほぼ1対1の拡張であるかの構造定理を適用する。
• $\mathbb{T}^d$上の$d$-ステップニルシステム$T_{\alpha,d}$を用いて反例を構成し、主な二分法の逆が成り立たないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小系が強力な$\mathcal{F}_{fip}$-敏感性を有するのはいつか？ また、$\infty$-ステップニルファクターへの拡張とはどのように関係するか？
• RQ2 ブロック$\mathcal{F}_t$-敏感性と最大等長的因子写像の近接性の関係は何か？
• RQ3 最小系がブロック$\mathcal{F}_{ip}$-敏感性を有するのはどのような条件下か？ また、$\infty$-ステップニルファクターへのほぼ1対1の拡張性質とどのように関連するか？
• RQ4 強力な$\mathcal{F}_{Poin_d}$-敏感性は、系の構造およびその因子の観点から特徴づけられるか？
• RQ5 強力な$\mathcal{F}_{fip}$-敏感性の二分法定理の逆は成り立つか？ そうでない場合、どのような反例が存在するか？

主な発見

• 最小系が強力な$\mathcal{F}_{fip}$-敏感性を有するのは、$\infty$-ステップニルファクターへの因子写像がほぼ1対1でない場合に限る。
• 最小系がブロック$\mathcal{F}_t$-敏感性を有するのは、最大等長的因子への因子写像が近接でない場合に限る。
• 最小系が強力な$\mathcal{F}_{ip}$-敏感性を有するのは、ブロック$\mathcal{F}_{ip}$-敏感性を有し、かつ$\infty$-ステップニルファクターへの写像がほぼ1対1でない場合に限る。
• $(d-1)$-ステップニルファクターのほぼ1対1の拡張でないが、強力な$\mathcal{F}_{Poin_{d-1}}$-敏感性を有さない最小系が存在する。これにより、主な二分法の逆が成り立たないことが示される。
• $\mathbb{T}^d$上の$d$-ステップニルシステム$T_{\alpha,d}$について、$\alpha$が無理数のとき、一般化多項式および双対族の性質を用いた背理法により、強力な$\mathcal{F}_{Poin_{d-1}}$-敏感性を有さないことが示される。
• $\mathcal{F}_{Poin_d}$は$\mathcal{F}_{d,0}^*$に含まれ、$\mathcal{F}_{GP_d} = \mathcal{F}_{d,0}$である。これらは非敏感性の証明における矛盾の導出に用いられる。