[論文レビュー] Sensitivity versus block sensitivity of Boolean functions

Madars Virza|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$ を満たす新しいブール関数の族を構築し、Rubinsteinの以前の2次的分離 $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2$ を改善した。構成では、1のパターンが特定の形をとる独立した変数セクションを用い、ブロック感度を最大化しながら感度を低く保つ。12変数以下の関数について、包括的なSATベースの探索により、この境界がタイトであることが確認された。

ABSTRACT

Determining the maximal separation between sensitivity and block sensitivity of Boolean functions is of interest for computational complexity theory. We construct a sequence of Boolean functions with bs(f) = 1/2 s(f)^2 + 1/2 s(f). The best known separation previously was bs(f) = 1/2 s(f)^2 due to Rubinstein. We also report results of computer search for functions with at most 12 variables.

研究の動機と目的

• 計算複雑性における中心的未解決問題である、ブール関数における感度とブロック感度のギャップを埋めること。
• Rubinsteinの2次的分離境界 $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2$ を改善すること。
• 小規模な変数関数を包括的探索することで、感度とブロック感度の2次的分離が最適であるかどうかを特定すること。
• これまでに知られているものよりも感度に比して高いブロック感度を達成する関数族を構築すること。

提案手法

• 変数数 $n = (2k+1)^2$ の関数を、各 $2k+1$ 個の変数からなる $2k+1$ 個のセクションに分割する。
• 少なくとも1つのセクションが「良い」とき、すなわち連続する1のペアが1つあるか、または最後の位置に単一の1がある場合に、関数が出力1を返すように定義する。
• 各セクションあたり最大1つのビット反転が関数値を変えることから、感度 $s(f) = 2k+1$ を示す。
• ブロックサイズと総変数数の制約を用いて、ブロック感度 $bs(f) = (2k+1)(k+1)$ を示す。
• 動的計画法を用いてビット反転の数を数えることで、ブロック感度と感度の制約をSATインスタンスに還元する。
• 12変数以下のすべてのブール関数について、SATソルバーを用いた包括的探索により境界の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の入力サイズに対して、ブール関数のブロック感度が $\frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$ を超えることは可能か？
• RQ2 感度とブロック感度の2次的分離は最適であるか、それ以上改善可能か？
• RQ3 感度が固定されたもとで、12変数以下のブール関数において、最大のブロック感度は何か？
• RQ4 新しい構成は、感度とブロック感度の間で、これまでに知られている最もタイトな分離を達成しているか？
• RQ5 SATベースの列挙により、$n \leq 12$ の関数のうち、$bs(f) \leq \frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$ の境界を破る関数が存在しないことが確認できるか？

主な発見

• 構築された関数は $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$ を達成し、Rubinsteinの $bs(f) = \frac{1}{2}s(f)^2$ よりも改善された。
• 12変数以下のすべてのブール関数について、ブロック感度は $\frac{1}{2}s(f)^2 + \frac{1}{2}s(f)$ を超えない。これは、境界がタイトである可能性を示唆する。
• 構築された族において、感度 $s(f)$ は正確に $2k+1$、ブロック感度 $bs(f)$ は正確に $(2k+1)(k+1)$ である。
• 包括的なSATベースの探索により、$n \leq 12$ の関数において、与えられた $s(f)$ に対して、提案された境界を超える $bs(f)$ を達成する関数は存在しないことが確認された。
• この結果は、2次的分離がほぼ最適であるという予想を支持しており、特にブロックサイズの制約下で顕著である。
• 解析により、総変数数と感度の制限の下で、ブロック感度は $(2k+1)(k+1)$ を超えることはできないことが示された。