[論文レビュー] Separability of Density Matrices and Conditional Information Transmission

Robert R. Tucci|arXiv (Cornell University)|May 28, 2000

Neural Networks and Applications参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、量子条件付き相互情報量を用いて、二粒子量子密度行列の分離可能性に関する必要十分条件を確立している。状態が分離可能であるための必要十分条件は、環境を含むより大きな系における純化が存在し、環境を条件とした二つの部分系間の条件付き相互情報量がゼロであることである。ただし、縮約密度行列に特定の可換性および非退化性条件が課される。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions under which a density matrix acting on a two-fold tensor product space is separable. Our conditions are given in terms of quantum conditional information transmission.

研究の動機と目的

• 量子条件付き情報伝送と二粒子密度行列の分離可能性との間の隠れた関係を明確化すること。
• 環境を含む拡張系における条件付き相互情報量の観点から、分離可能性を特徴づけること。
• 有限次元の環境を含む拡張を含めた分離可能性の概念を一般化し、無限次元極限における弱い分離可能性を検討すること。
• ゼロの条件付き相互情報量の条件が、密度行列の構造およびその固有値性質とどのように関係するかを明らかにすること。
• 与えられた状態の拡張における条件付き相互情報量の振る舞いを分析することで、異なる種類のもつれを区別すること。

提案手法

• 三粒子系（A, B, E）における条件付き分離可能性の概念を導入し、環境Eに条件付けられた状態が、積状態の凸結合として表現可能であることを仮定する。
• 縮約密度行列のフォン・ノイマンエントロピーを用いて、量子条件付き相互情報量 $ S_{\sigma}[({\underline{x}}:{\underline{y}})|{\underline{e}}] $ を定義する。
• 量子エントロピーの強い部分加法性不等式を適用し、この不等式が等号成立するための条件は $ \log\rho = \log\rho_{{\underline{x}}{\underline{e}}} + \log\rho_{{\underline{y}}{\underline{e}}} - \log\rho_{{\underline{e}}} $ であることを示す。
• 強い部分加法性の等号成立条件を用いて、拡張系における純化を介した分離可能性の必要十分条件を導出する。
• 追加の制約として、$ \sigma_{{\underline{y}}{\underline{e}}}, \sigma_{{\underline{x}}{\underline{e}}}, \sigma_{{\underline{e}}} $ の対ごとの可換性と、$ \sigma_{{\underline{e}}} $ の非退化でゼロでない固有値を課す。
• これらの条件下で、拡張状態 $ \sigma $ は条件付きに分離可能であり、環境を traced out すると、分離可能な状態 $ \rho $ が得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子条件付き情報伝送は、二粒子密度行列の分離可能性とどのように関係しているか？
• RQ2 環境を含む拡張系において、どのような条件下で二粒子部分系の縮約状態が分離可能になるか？
• RQ3 強い部分加法性不等式の等号成立は、より大きな系における純化を介して分離可能な状態を特徴づけるのに利用可能か？
• RQ4 環境の密度行列の非退化でゼロでない固有値が、分離可能性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 拡張系の縮約密度行列の可換性条件は、分離可能な状態の構造とどのように関係するか？

主な発見

• 密度行列 $ \rho \in \mathcal{D}(\mathcal{H}_{{\underline{x}}{\underline{y}}}) $ が分離可能であるための必要十分条件は、$ \rho = \text{tr}_{\underline{e}}\sigma $ を満たす拡張 $ \sigma \in \mathcal{D}(\mathcal{H}_{{\underline{x}}{\underline{y}}{\underline{e}}}) $ が存在し、$ S_{\sigma}[({\underline{x}}:{\underline{y}})|{\underline{e}}] = 0 $ であり、かつ縮約密度行列 $ \sigma_{{\underline{y}}{\underline{e}}}, \sigma_{{\underline{x}}{\underline{e}}}, \sigma_{{\underline{e}}} $ が対ごとに可換で、非退化でゼロでない固有値を持つことである。
• 条件 $ S_{\sigma}[({\underline{x}}:{\underline{y}})|{\underline{e}}] = 0 $ は、量子エントロピーの強い部分加法性不等式の等号成立に相当し、これは $ \log\sigma = \log\sigma_{{\underline{x}}{\underline{e}}} + \log\sigma_{{\underline{y}}{\underline{e}}} - \log\sigma_{{\underline{e}}} $ が成り立つときに限り成立する。
• もし $ \sigma_{{\underline{e}}} $ の固有値が非退化でゼロでなければ、縮約密度行列の可換性により、$ \sigma_{{\underline{x}}{\underline{e}}} $ と $ \sigma_{{\underline{y}}{\underline{e}}} $ は $ \mathcal{H}_{\underline{e}} $ の基底において対角化可能となり、条件付きに分離可能な形に分解可能である。
• 得られる状態 $ \sigma $ は、$ \sigma = \sum_e w_e |e\rangle\!\langle e| \otimes \rho_{{\underline{x}}}^e \otimes \rho_{{\underline{y}}}^e $ の形に書くことができ、$ \mathcal{H}_{\underline{e}} $ を traced out した後、$ \rho $ が分離可能であることが証明される。
• 論文は、すべての拡張において $ S_{\sigma}[({\underline{x}}:{\underline{y}})|{\underline{e}}] \neq 0 $ を満たすもつれ状態のクラス $ \mathcal{D}_{\text{pos}} $ を特定し、これにより分離可能な状態と区別可能であることを示した。
• この定理は $ n $ 重テンソル積空間へ一般化可能であり、多粒子系への枠組みの拡張が可能である。