[論文レビュー] Separability of Solvable Subgroups in Linear Groups

Roger C. Alperin, Benson Farb|ArXiv.org|Jul 26, 2004

Finite Group Theory Research参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、特性0の体上の有限生成線型群において、すべての可解部分群が多可解であるならば、任意の可解部分群は分離可能であることを確立する。証明は、多可解群の部分群分離性、合同およびプロファイnite位相、有限指数のイデアルに関する剰余類を用いて、有限商を通じて部分群から要素を分離する。

ABSTRACT

Let G be a finitely generated linear group over a field of characteristic 0. Suppose that every solvable subgroup of G is polycyclic. Then the claim is made that any solvable subgroup of G is separable. This is proven for G=SL_n(Z). However, the proof of the main theorem in section 4 is incomplete.

研究の動機と目的

• 有限生成線型群の可解部分群が分離可能となる条件を同定すること。
• 特に多可解でない可解部分群に対して一般の部分群分離性が成立しない理由を解明すること。
• すべての可解部分群が多可解であるという十分条件を、特性0の体上の線型群における可解部分群分離性のための条件として確立すること。
• 特殊線型群や算術的格子における部分群分離性の既知の結果を、より広いクラスの線型群へと拡張すること。
• 線型基本群をもつ多様体の有限被覆への可解多様体の埋め込みの上昇を、位相的応用として提供すること。

提案手法

• Lie-Kolchin-Malcev定理を用いて、可解部分群を有限生成環上の上三角行列群として実現する場合に還元すること。
• 整数環またはその局域化における有限指数イデアルを用いた合同商を用いて、可解部分群に属さない要素を分離すること。
• 整数環の局域化上の上三角行列群の部分群において、プロファイnite位相と合同位相が等価であることを活用すること。
• 合同位相と整合する有限指数正規部分群（素数べきの指数をもつ）を構成し、分離性を保証すること。
• 多可解群における部分群分離性を用いて、生成群の有限商内で部分群から外れる要素を分離すること。
• 準同型におけるイデアルの逆像を用いて、有限商を通じて分離性を元の線型群へと上昇させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性0の体上の有限生成線型群において、可解部分群がいつ分離可能となるか。
• RQ2 すべての可解部分群が多可解であるという仮定が、可解部分群分離性に必要となる理由は何か。
• RQ3 合同およびプロファイnite位相を用いて、線型群における可解部分群の分離性を確立できるか。
• RQ4 多可解群の導来系列の構造が、要素を分離する有限商を構成するためにどのように寄与するか。
• RQ5 線型基本群をもつ多様体への可解多様体の埋め込みが、部分群分離性によって、どの程度有限被覆への上昇が保証されるか。

主な発見

• 特性0の体上の有限生成線型群の任意の可解部分群は、その群のすべての可解部分群が多可解であるならば、分離可能である。
• この結果は、SL(2,C)の離散部分群、ランク1のリー群における算術的格子、整数環上のボレル部分群の部分群といった既知の事例を一般化する。
• 局所化された整数環上の上三角行列群の部分群において、プロファイnite位相と合同位相が一致するため、合同商の利用が可能になる。
• 可解部分群Sに属さない任意の要素に対して、有限指数イデアルに関する剰余類を用いて、Sから分離可能な有限商が存在する。
• 固定された整数mと互いに素でない指数をもつ分離の核に対しても、適切な指数を持つ有限指数部分群を構成できることを保証する。
• この結果は、すべての有限生成可解部分群が多可解である場合に限り、線型基本群をもつ閉多様体への可解多様体のπ₁-注入埋め込みが、有限被覆への埋め込みに上昇できることを示唆する。