[論文レビュー] Separable bi-Hamiltonian systems with quadratic in momenta first integrals

Maciej Błaszak|ArXiv.org|Dec 11, 2003

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特殊なコンformal Killingテンソルによって生成されるBenenti系の変形を用いて、リーマン多様体上における運動量の二次関数型第一積分をもつ分離可能なLiouville可積分系を構成するための体系的な幾何学的理論を開発する。すべてのこうした分離可能な系がGel'fand-Zakharevich（GZ）双ハミルトニアン形式に持ち上げられることを証明し、Benenti系のk-hole変形によって無限に多くの新しい分離可能クラスが生じることを示し、分離座標および明示的なスペクトル曲線をもつ双ハミルトニアン鎖を構成する包括的な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Geometric separability theory of Gel'fand-Zakharevich bi-Hamiltonian systems on Riemannian manifolds is reviewed and developed. Particular attention is paid to the separability of systems generated by the so-called special conformal Killing tensors, i.e. Benenti systems. Then, infinitely many new classes of separable systems are constructed by appropriate deformations of Benenti class systems. All such systems can be lifted to the Gel'fand-Zakharevich bi-Hamiltonian form.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上における運動量の二次関数型第一積分をもつLiouville可積分系の包括的な幾何学的分離理論を構築すること。
• 特殊なコンformal Killingテンソルによって生成される既知のBenenti系のクラスを、体系的な変形を用いて拡張し、新たな分離可能系を構築すること。
• 多項式型の分離曲線をもつすべてのこうした分離可能系が、Benenti系の変形から体系的に構成可能であることを証明すること。
• これらの系をGel'fand-Zakharevich双ハミルトニアン形式に持ち上げる構成的技法を確立すること、これには準双ハミルトニアンおよび完全な双ハミルトニアン鎖を含む。
• 変形パラメータおよび元のBenenti構造を用いて、変形されたハミルトニアン、ポテンシャル、および分離曲線の明示的公式を提供すること。

提案手法

• ωN多様体上の幾何学的分離理論を用い、多項式カシミールをもつ線形ポアソンペンシルを介してGZ双ハミルトニアン系へと持ち上げる。
• 特殊なコンformal Killingテンソル（SCKT）の概念を用いてBenenti系のクラスを定義し、変形の出発点とする。
• 変形パラメータを用いて計量およびポテンシャルを変更することでBenenti系のk-hole変形を導入し、分離性を保持する。
• 変形に依存する係数αr, βrをもつ修正されたポアソン構造を用いて準双ハミルトニアン鎖を導出する。
• カシミル関数およびハミルトニアン力学を含む部分鎖に分解することにより、完全な双ハミルトニアン鎖を構成する。
• 分離曲線を形式 H1ξ^m1 + ... + Hnξ^mn = 1/2 f(ξ)µ² + γ(ξ) として明示的に導出する。ここでfおよびγはローラン多項式である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式型の分離曲線をもつすべての分離可能Liouville可積分系が、Benenti系の変形から体系的に構成可能か？
• RQ2 GZ双ハミルトニアン系の幾何学的分離理論は、Benenti系のクラスを超える新たな分離可能系クラスを含むようにどのように拡張可能か？
• RQ3 特殊なコンformal Killingテンソルは、変形を用いて分離可能系の全族を生成する役割を果たすか？
• RQ4 k-hole変形は、基礎となる幾何学および力学を変更しながらも、可積分性および分離性をどのように保持するか？
• RQ5 変形された系の双ハミルトニアンおよび準双ハミルトニアン鎖の明示的形は何か？また、元のBenenti構造とはどのように関係するか？

主な発見

• 多項式型の分離曲線をもつすべての分離可能系は、初期計量G(0)および特殊なコンformal KillingテンソルLから出発するk-hole変形によって体系的に構成可能である。
• 元のBenenti系の測地線運動の分離曲線は E1ξ^{n-1} + ... + En = 1/2 µ² の形をとり、これはより一般の曲線 H1ξ^{m1} + ... + Hnξ^{mn} = 1/2 f(ξ)µ² + γ(ξ) に変形される。
• 1-hole変形の場合、H̃i = 1/2 p^T Ãi p + Ṽi の形の明示的変形ハミルトニアンが構成され、ここでÃiおよびṼiは変形パラメータの有理関数として元のA行列およびポテンシャルから導出される。
• 2-hole変形の例では、H̃1, H̃2, ..., H̃5 の5つのハミルトニアンをもつ系が得られ、双ハミルトニアン鎖はカシミル関数c1, c2, c3を含む3つの部分鎖に分解される。
• 2-hole系の分離曲線は、eH1ξ^4 + eH3ξ^2 + eH5 = 1/8 µ² + 16ξ^7 および c1ξ^5 + eh1ξ^4 + c2ξ^3 + eh3ξ^2 + c3ξ + eh5 = 1/8 µ² + 16ξ^7 であり、明示的にスペクトル曲線構造が示されている。
• 本稿は、こうした分離曲線をもつ分離可能系の全クラスがBenenti系の変形から生じることを証明し、構成が初期ペア (G(0), L) によって完全に決定されることを示している。