[論文レビュー] Separable rational connectedness and weak approximation in positive characteristic

Jason Starr, Zhiyu Tian|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正標数におけるピカール数1の滑らかで射影的多様体における分離的有理的連結性のコhomological基準を確立する：多様体が分離的有理的連結的であるための必要十分条件は、すべての $ i = 1, \dots, \dim X $ に対して $ H^0(X, \Omega^i_X) $ が消えることである。この結果を用いて、有利な標数および次数条件の下でファノ完全交差に対する弱近似を証明する。

ABSTRACT

In this short note we give a characterization of smooth projective varieties of Picard number one that are separably uniruled but not separably rationally connected. We also give a sufficient condition involving the torsion order and the uniruling index for a smooth Fano variety of Picard number one to be separably rationally connected. As an application, we prove some weak approximation results for Fano complete intersections in positive charactersitic. For example, we show that weak approximation holds at place of strong potentially good reduction for a Fano complete intersection in $\mathbb{P}^n$ of type $(d_1, \ldots, d_c)$ in characteristic $p$ such that $n>d_1+\ldots +d_c, p>d_1, \ldots, d_c.$

研究の動機と目的

• ピカール数1の滑らかで射影的多様体で、分離的有理的被覆的ではあるが分離的有理的連結的でないものについての特徴付け。
• 分離的有理的連結性の十分条件を、torsion order と有理的被覆インデックスを用いて、ピカール数1のファノ多様体に対して確立すること。
• 次数および標数の制約の下で、正標数におけるファノ完全交差に対する弱近似結果の証明。
• 先行研究 [Tia15] および [STZ18] の分離的有理的連結性および弱近似に関する結果の一般化と改善。

提案手法

• r-有理的被覆の概念を用い、一般に有限なr重ファイバー積写像の次数のGCDとしてr-有理的被覆インデックスを定義する。
• ファイバー積上の分離的評価写像を介して、分離的有理的被覆と分離的有理的連結性の概念を応用する。
• 分離的有理的連結性の主要なコhomological基準として、すべての $ i = 1, \dots, \dim X $ に対して $ H^0(X, \Omega^i_X) $ の消えることを用いる。
• 自由有理的曲線とその余接バンドルへの引き戻しを用いて、$ \mathcal{D} \subset \Omega_X $ を定義する。
• 反射的層 $ (\Lambda^{n-r}\mathcal{D})^{**} $ を用い、ピカール数1および次数0の性質からその自明性を示し、$ \Omega^{n-r}_X $ の大域的切断を構成する。
• DVR上の族の中心ファイバーにおける分離的有理的連結性を導くために、[CL16] の結果を用いて torsion order と有理的被覆インデックスに言及する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ピカール数1の滑らかで射影的多様体が分離的有理的被覆的ではあるが分離的有理的連結的でない場合、どのような条件下に成立するか？
• RQ2 正標数における分離的有理的連結性を保証する明確なコhomological基準は何か？
• RQ3 torsion order と有理的被覆インデックスは、ピカール数1のファノ多様体における分離的有理的連結性をどのように決定するか？
• RQ4 正標数におけるファノ完全交差に対して、次数および標数の制約の下で弱近似は成立するか？
• RQ5 弱近似定理における (強い) 潜在的良い還元の仮定を、中心ファイバーに関する新しい基準を用いて緩和できるか？

主な発見

• 代数閉体上に定義されたピカール数1の滑らかで射影的多様体 $ X $ が正標数であるとき、すべての $ i = 1, \dots, \dim X $ に対して $ H^0(X, \Omega^i_X) = 0 $ であるための必要十分条件は、$ X $ が分離的有理的連結的であることである。
• タイプ $ (d_1, \dots, d_c) $ の $ \mathbb{P}^n $ 内のファノ完全交差 $ X \subset \mathbb{P}^n $ で $ n > \sum d_i $ かつ $ p > \max(d_1, \dots, d_c) $ を満たす場合、残差標数 $ p $ のDVR上の中心ファイバーは分離的有理的連結的である。
• このような完全交差の有理的被覆インデックスは $ \prod_{i=1}^c (d_i!) $ を割り切り、torsion order も同様にこの積を割り切る。
• Fano指数 $ \geq 2 $ である $ \mathbb{P}^n $ 内の完全交差の滑らかな族に対して、すべての（強い）潜在的良い還元の場所において弱近似が成立する。ただし $ p > \max(d_1, \dots, d_c) $ を満たすものとする。
• 弱近似の証明は、中心ファイバーが分離的有理的連結的であることにより成立し、これはコロナリー9から従う。これにより、[STZ18, Theorem 1.1] よりも還元仮定を緩和した。
• 一様空間内の完全交差に対しては、Fano指数と自由有理的曲線との交差数の階乗の積を用いた明示的基準が、標数の制約の下で分離的有理的連結性を特徴付ける。