[論文レビュー] Separately subharmonic functions

Juhani Riihentaus|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2006

Holomorphic and Operator Theory被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、準近似調和関数の一般化である準近似調和関数というクラスを導入し、それらの性質を研究する。このクラスは、準調和関数、近似調和関数、およびほぼ調和関数を含む。別々の変数に関して準近似調和関数である関数について、新たな調和性に関する結果を確立し、関数が1つの変数に関して調和的で、他の変数に関しては準調和的である場合の調和性に関する先行研究（Arsove よりも Kolodziej-Thorbiornson）を改善する。

ABSTRACT

First, we give the definition for quasi-nearly subharmonic functions, now for general, not necessarily nonnegative functions, unlike previously. We point out that our function class incudes, among others, quasisubharmonic functions, nearly subharmonic functions (in a slightly generalized sense) and almost subharmonic functions. We also give some basic properties of quasi-nearly subharmonic functions. Second, after recalling some of the existing subharmonicity results of separately subharmonic functions, we give the corresponding counterparts for separately quasi-nearly subharmonic functions, thus improving previous results of ours, of Lelong, of Avanissian and of Arsove. Third, we give two results concerning the subharmonicity of a function subharmonic with respect to the first variable and harmonic with respect to the second variable. The first result improves a result of Arsove, concerning the case when the function has, in addition, locally a negative integrable minorant. The second result improves a result of Kolodziej and Thorbiornson concerning the subharmonicity of a function subharmonic and ${\mathcal{C}}^2$ in the first variable and harmonic in the second.

研究の動機と目的

• 準調和関数や近似調和関数といった既存の概念を拡張する、新しい関数クラス「準近似調和関数」を定義し、その分析を行うこと。
• 別々の変数に関して準調和的である関数に関する既存の調和性に関する結果を、より広いクラスの別々の変数に関して準近似調和的である関数へ一般化すること。
• ある変数に関して準調和的で、他の変数に関して調和的である関数の調和性に関する先行結果を、より弱い可積分性または滑らかさの仮定のもとで改善すること。
• ある変数に関して調和的で、他の変数に関して準調和的である関数が、全体として調和的であるための条件を確立すること。

提案手法

• 非負の近似調和関数の一般化として、一般の（必ずしも非負でない）関数を含む、準近似調和関数のクラスを導入すること。
• 積分平均の不等式と調和関数の性質を用いて、新しく導入した関数クラスの基本的構造的性質を導出すること。
• 別々の変数に関して調和的である関数に関する既知の結果を用い、測度論的およびポテンシャル論的技法を用いて、それを準近似調和関数の設定へ拡張すること。
• 下界関数（minorant）と局所可積分性の概念を用いて、Arsove の調和性に関する結果（負の局所可積分下界関数をもつ関数）を強化すること。
• 最初の変数に関してC²正則性で、2番目の変数に関して調和的である関数に対して、微分作用素と調和性の基準を用いて、Kolodziej と Thorbiornson の結果を精緻化すること。
• ポテンシャル論における比較原理と最大原理を用いて、合成関数の調和性を検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似調和関数の概念を、正でない関数を含むように一般化する方法は何か？ また、有用な解析的性質を保つにはどうすればよいか？
• RQ2 別々の変数に関して準近似調和的である関数が、全体として調和的であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 ある変数に関して準調和的で、他の変数に関して調和的である関数が、全体として調和的であることが保証される条件は何か？
• RQ4 負の局所可積分下界関数をもつ関数に関する Arsove の結果を、別々の変数に関して調和的であるという文脈で、どのように改善できるか？
• RQ5 最初の変数に関してC²正則性がある場合、2番目の変数に関して調和的である関数に対して、調和性の結論がどのように強化されるか？

主な発見

• 準近似調和関数のクラスは、準調和関数、一般化された意味での近似調和関数、およびほぼ調和関数を真に含む。
• 本稿では、弱い積分的および可測性の条件のもとで、別々の変数に関して準近似調和的である関数が、全体として調和的であることを確立した。
• Arsove の定理を新たに改善し、下界関数が局所可積分であるという要件を、より一般的な準近似調和関数の下界関数へ弱めた。
• 最初の変数に関して調和的で、2番目の変数に関して調和的である関数が、C²正則性を最初の変数に関して持つ場合、全体として調和的であることを証明した。
• Kolodziej と Thorbiornson の改善結果を、最初の変数に関してC²正則性で、2番目の変数に関して調和的である場合、追加の仮定なしに調和性が成立することを示すことで、さらに拡張した。
• 結果から、変数間における調和性と準調和性の相互作用が、準近似調和関数の枠組みを用いて体系的に分析可能であることが示された。