[論文レビュー] Separating Models by Formulas and the Number of Countable Models

Mohammad Assem|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$L_{\omega_1\omega}$ の可算フラグメントからの論理式を用いてモデル理論における可算モデルの分離可能性を調査し、一階理論が互いに分離可能な可算モデルの非可算族を持つならば、その理論は $2^{\aleph_0}$ 個の同型でない可算モデルを持つ必要があることを確立している。主な貢献は、ボレル同値関係とポーランド空間における構造の空間における濃度比較を用いた、モデルの区別可能性の位相的かつ論理的特徴付けである。

ABSTRACT

We indicate a way of distinguishing between structures, for which, two structures are said to be separable.Being separable implies being non-isomorphic. We show that for any first order theory $T$ in a countable language, if it has an uncountable set of countable models that are pairwise separable, then actually it has such a set of size $2^{\aleph_0}$. Our result follows trivially assuming the Continuum Hypothesis ($CH$). We work here in $ZFC$ (only without $CH$).

研究の動機と目的

• 可算フラグメントからの論理式を用いたモデル分離可能性の概念を形式化すること。
• そのようなフラグメントによって誘導されるポーランド位相の下で、可算無限の $L$-構造の空間 $X_L$ の位相的構造を分析すること。
• 定義可能集合の濃度の差を用いて、2つの構造が同型でないことを特徴付けること。
• フラグメント $F$ における無差別性の同値関係 $E_F$ が、積位相においてボレル可測であることを確立すること。
• 互いに分離可能な可算モデルの非可算族が存在するならば、$2^{\aleph_0}$ 個の同型でない可算モデルが存在することを証明すること。

提案手法

• $X_L = \prod_{i \in I} 2^{(\mathbb{N}^{n_i})}$ を、可算な関係的言語 $L$ 上のすべての可算無限 $L$-構造の空間として定義する。
• $L_{\omega_1\omega}$ のフラグメント $F$ を、部分論理式、否定、量化子、および有限かつ／またはに閉じたものとして定義する。
• $\varphi$ と自然数のタプル $\bar{s}$ に対して、$X_L$ 内で $\varphi$ を満たす構造の集合を $Mod(\varphi, \bar{s})$ と定義する。
• $Mod(\varphi, \bar{s})$ を基本開集合とする位相 $t_F$ を $X_L$ に導入し、これがポーランド位相であることが示される。
• $\mu_\varphi: \mathbb{N} \to {}^{|\Delta\varphi|}\omega$ を用いて、有限および無限のタプル集合の濃度比較のための同型写像を構成する。
• これらの同型写像を用いて、定義可能集合の濃度の等価性を単射関数と逆像条件により表現し、$E_F$ のボレル特徴付けに至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算フラグメントからの論理式を用いて、2つの可算モデルをいつ分離可能と見なせるか。
• RQ2 フラグメント $F$ における無差別性の同値関係 $E_F$ は、ポーランド位相 $t_F$ でボレル可測か。
• RQ3 互いに分離可能なモデルの非可算族の存在と、同型でない可算モデルの総数との間にはどのような関係があるか。
• RQ4 モデル内の定義可能集合の濃度を論理式を用いて同型型を特徴付けることができるか。
• RQ5 $t_F$ を備えた $X_L$ の位相的構造は、同型や分離可能性といったモデル理論的性質をどのように反映するか。

主な発見

• 可算フラグメント $F$ における無差別性の同値関係 $E_F$ は、積位相 $(X_L, t_F) \times (X_L, t_F)$ においてボレル可測である。
• 2つの構造が $F$ で分離可能であるとは、ある $\varphi \in F$ が存在して、それらの $\varphi$-定義可能集合の濃度が異なることである。
• 文でない任意の論理式 $\varphi$ に対して、選択された同型写像 $\mu_\varphi$ を用いて、その定義可能集合の濃度を $\mathbb{N}$ 上の単射関数により特徴付けられる。
• $|X| = |Y| \in \omega$ という条件は、単射関数 $f, g$ が存在して $f^*(g^{-1}(Y)) = X$ かつ $g^*(f^{-1}(X)) = Y$ となることと論理的に同値であり、これはボレル的に表現可能である。
• 一階理論 $T$ が、$L_{\omega_1\omega}$ の任意の可算フラグメントにおいて、互いに分離可能な可算モデルの非可算族を持つならば、$T$ は $2^{\aleph_0}$ 個の同型でない可算モデルを持つ。
• モデルの集合が $X_L$ で $G_{\delta}$ である場合でも、この結果は成り立つため、濃度の結論は位相的制約のもとでも頑健である。