[論文レビュー] Separating regular languages by piecewise testable and unambiguous languages

Thomas Place, Lorijn van Rooijen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2013

semigroups and automata theory参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、部分語の長さに関する計算可能な上限を用いた飽和に基づく構成を用いて、2つの正則言語が部分語的テスト可能な言語によって分離可能かどうかを判定する多項式時間アルゴリズムを提示する。また、非一意的言語による分離に関しては3-Nexptimeのアルゴリズムを提供し、構成可能な分離子とその複雑さのタイトな境界を提示する。

ABSTRACT

Separation is a classical problem asking whether, given two sets belonging to some class, it is possible to separate them by a set from a smaller class. We discuss the separation problem for regular languages. We give a Ptime algorithm to check whether two given regular languages are separable by a piecewise testable language, that is, whether a $BΣ1(

研究の動機と目的

• 2つの正則言語が部分語的テスト可能な言語によって分離可能かどうかを決定する問題を解くこと。
• 適切な同値関係による飽和を用いて、存在する場合には構成的な方法で分離子を生成すること。
• アプローチを非一意的言語へと拡張し、決定可能性と複雑さの境界を確立すること。
• 合成的モノイドとアルファベットサイズに基づいた分離子のサイズに関するタイトな境界を提供すること。
• 形式言語理論における分離問題の一般枠組みを構築すること。

提案手法

• 各入力言語の合成的モノイドを用いて、部分語的テスト可能な分離における部分語長さの上限を導出すること。
• 部分語パターン（長さがκ以下のもの）に基づく同値関係 ≅κ を定義する。ここで κ はモノイドのサイズとアルファベットの関数として計算可能である。
• 2つの言語が部分語的テスト可能な言語によって分離可能であるならば、それらは部分語サイズが有界なクラス BΣ₁(<) の言語によっても分離可能であることを証明すること。
• （B,p）-パターンを用いたポンピングに類似した性質を適用し、κ 階層で分離子が存在しない場合、より高い階層でも存在しないことを示すこと。
• 非一意的言語の場合、モノイドのサイズとアルファベットに基づいて同様の上限 κ を定義し、非一意的積のブール結合を用いること。
• 自動機に基づく推論への還元と非決定的3-指数時間の境界を用いて、非一意的分離の複雑さを制限すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの正則言語が部分語的テスト可能な言語によって分離可能かどうかを多項式時間で決定できるか？
• RQ2 分離子が存在する場合、その最小サイズは何か？ また、それを効果的に構成できるか？
• RQ3 2つの正則言語が非一意的言語によって分離可能かどうかは決定可能か？ その問題の複雑さは何か？
• RQ4 部分語的テスト可能および非一意的言語の両方について、合成的モノイドとアルファベットサイズに基づいた分離子のサイズを境界づけられるか？
• RQ5 異なる部分クラスに対して一様なアプローチを提供する、形式言語理論における分離問題の一般枠組みは存在するか？

主な発見

• 2つの正則言語が部分語的テスト可能な言語によって分離可能かどうかを判定する多項式時間アルゴリズムが存在する。
• このアルゴリズムは、入力のNFAに含まれる禁止パターンの検出に基づく。これらのパターンが存在しないことは、分離可能性を保証する。
• 分離可能性が成立する場合、分離子はモノイドのサイズとアルファベットに基づく関数で境界づけられたインデックスの同値関係による1つの言語の飽和によって構成可能である。
• 非一意的言語の場合、問題は3-Nexptimeで決定可能であり、必要な非一意的積のサイズに関する境界は κ = (2|M₁||M₂| + 1)(|A| + 1)² である。
• 境界 κ は、κ 階層で分離子が存在しない場合、より高い階層でも存在しないことを保証する。これはポンピングに類似した性質による。
• 結果はFO²(<)-定義可能な言語へと拡張可能であり、分離子が存在するならば、その量的ランクが κ で境界づけられた分離子が存在することを示している。