[論文レビュー] Separating regular languages with two quantifier alternations

Thomas Place|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2017

semigroups and automata theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限基底を持つ任意の連結階層のレベル $\frac{3}{2}$ における分離問題の決定可能性を確立し、特にドット・ディープネス階層におけるレベル $\frac{5}{2}$ に対しても同様の結果を得た。これは、乗法的レーティング写像と最適化されたポイント付きインプリントに基づく新規な枠組みを構築することで達成され、語における $\Sigma_3$ 一階論理に対する解法をもたらした。

ABSTRACT

We investigate a famous decision problem in automata theory: separation. Given a class of language C, the separation problem for C takes as input two regular languages and asks whether there exists a third one which belongs to C, includes the first one and is disjoint from the second. Typically, obtaining an algorithm for separation yields a deep understanding of the investigated class C. This explains why a lot of effort has been devoted to finding algorithms for the most prominent classes. Here, we are interested in classes within concatenation hierarchies. Such hierarchies are built using a generic construction process: one starts from an initial class called the basis and builds new levels by applying generic operations. The most famous one, the dot-depth hierarchy of Brzozowski and Cohen, classifies the languages definable in first-order logic. Moreover, it was shown by Thomas that it corresponds to the quantifier alternation hierarchy of first-order logic: each level in the dot-depth corresponds to the languages that can be defined with a prescribed number of quantifier blocks. Finding separation algorithms for all levels in this hierarchy is among the most famous open problems in automata theory. Our main theorem is generic: we show that separation is decidable for the level 3/2 of any concatenation hierarchy whose basis is finite. Furthermore, in the special case of the dot-depth, we push this result to the level 5/2. In logical terms, this solves separation for $Σ_3$: first-order sentences having at most three quantifier blocks starting with an existential one.

研究の動機と目的

• 有限基底を持つ連結階層におけるレベル $\frac{3}{2}$ および $\frac{5}{2}$ の分離問題の長年の未解決問題を解くこと。
• 語における一階論理の量化子入れ違い階層において、メンバーシップから分離への決定可能性結果を拡張すること。
• 多項式的および論理的閉包を扱うための、乗法的レーティング写像と最適化されたポイント付きインプリントに基づく汎用的枠組みを構築すること。
• 連結階層における分離と $\Sigma_3$ 一階論理における論理的定義可能性との間の関係を確立すること。
• トランスファーおよび還元技術を用いて、階層の高次のレベルにおけるカバーおよびメンバーシップ問題を解く基盤を築くこと。

提案手法

• 連結階層における言語クラスの分析のための構造的道具として、乗法的レーティング写像を導入する。
• レーティング写像を用いて、$\mathrm{Pol}(\mathcal{C})$ および $\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$ クラスの最適化されたポイント付きインプリントを定義し、特徴づける。
• $PBPol(\mathcal{C})$-飽和集合および下付き集合への閉包性を用いて、分離構成の正当性を保証する。
• 因子分解森の構造的性質を代数的条件（イデムポテン元に関する）に翻訳するために、準同型 $\tau$ を適用する。
• 高さとイデムポテン高さが有界な $\eta$-因子分解森を用いて、言語構成の複雑さを制御する。
• 既知の [PZ15a] のトランスファー結果および [PZ14] の還元定理を活用し、分離結果を $\Sigma_4$ のメンバーシップへ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限基底を持つ任意の連結階層のレベル $\frac{3}{2}$ における分離問題は決定可能か？
• RQ2 ドット・ディープネス階層におけるレベル $\frac{5}{2}$ における分離問題は解けるか？
• RQ3 乗法的レーティング写像と最適化されたポイント付きインプリントの枠組みは、$\mathrm{Pol}(\mathcal{C})$ および $\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$ における分離の汎用的解法を可能にするか？
• RQ4 分離に関する結果は、量化子入れ違い階層の高次のレベルにおけるメンバーシップ問題へ持ち上げられるか？
• RQ5 良い乗法的レーティング写像の範囲を超えて、$\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$-最適化ポイント付きインプリントの特徴づけを一般化可能か？

主な発見

• 有限基底を持つ任意の連結階層のレベル $\frac{3}{2}$ における分離は決定可能である。
• ドット・ディープネス階層におけるレベル $\frac{5}{2}$ における分離は決定可能であり、これは語における $\Sigma_3$ 一階論理に対応する。
• この解法は、すべての乗法的レーティング写像に対して有効な $\mathrm{Pol}(\mathcal{C})$-最適化ポイント付きインプリントの特徴づけに依拠している。
• 良い乗法的レーティング写像に制限することで、この枠組みは $\mathrm{PBPol}(\mathcal{C})$ へ拡張され、分離言語の構成を可能にする。
• 結果として、既知の還元技術を用いて $\Sigma_4(<)$ および $\Sigma_4(<,+1,min,max,\varepsilon)$ のメンバーシップ問題の決定可能性が示唆される。
• この方法は単なる決定可能性を凌駕する強固な基盤を提供しており、最適化インプリントの特徴づけが今後の拡張を可能にする。