[論文レビュー] Separation Axioms in Bi-soft Topological Spaces

Munazza Naz, Muhammad Shabir+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2015

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、普遍集合にパラメータ集合を用いて二つのソフトトポロジーを組み合わせることで、ソフトトポロジカル空間の一般化として二重ソフトトポロジカル空間を導入する。ペアワイズソフト分離公理（T₀、T₁、T₂）を確立し、ペアワイズソフトハウスドルフ空間の特徴づけ定理を証明することで、古典的ソフトおよびクリップストポロジカル分離性との関係を示している。さらに、この枠組みをROUGHセット理論に応用し、情報システムにおける不確実性のモデル化にソフトトポロジーを関連づけている。

ABSTRACT

Concept of bi-soft topological spaces is introduced. Several notions of a soft topological space are generalized to study bi-soft topological spaces. Separation axioms play a vital role in study of topological spaces. These concepts have been studied in context of bi-soft topological spaces. There is a very close relationship between topology and rough set theory. An application of bi-soft topology is given in rough set theory.

研究の動機と目的

• 二重トポロジー構造を導入することでソフトトポロジカル空間を一般化し、二重ソフトトポロジカル空間の概念を提示すること。
• 古典的分離公理（T₀、T₁、T₂）を二つのトポロジーを持つソフト設定に拡張し、ペアワイズソフト分離公理を定義すること。
• ペアワイズソフトTᵢ空間とそれに対応する古典的ソフトおよびクリップストポロジカルTᵢ空間との関係を調査すること。
• ペアワイズソフトハウスドルフ空間の特徴づけ定理を提示すること。
• 二重ソフトトポロジカル空間をROUGHset理論に応用し、特に情報システムにおける不確実性のモデル化に応用すること。

提案手法

• 著者らは、Xを普遍集合、Eをパラメータ集合、T₁、T₂をX上のソフトトポロジーとする三つ組 (X, T₁, T₂, E) を二重ソフトトポロジカル空間として定義する。
• パラメータ化された開集合を用いて、古典的ビトポロジカル分離公理をソフト設定に拡張することで、ペアワイズソフトT₀、T₁、T₂公理を導入する。
• ソフト内部、ソフト閉包、ソフト補集合などのソフト集合演算を用いて、二重ソフト文脈におけるソフト開集合およびソフト閉集合を定義・分析する。
• ソフト閉包とソフト内部の共通部分を用いて、ペアワイズソフトハウスドルフ空間の特徴づけ定理を証明する。
• パラメータ集合E上のソフト集合に対する論理的含意および集合論的演算を通じて理論的結果を導出する。
• 情報システムが下界および上界近似を通じて自然に二重ソフトトポロジーを誘導することを示すことにより、ROUGHset理論への応用を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 もし (X, T₁, T₂, E) がペアワイズソフトTᵢ空間であれば、(X, T₁, E) と (X, T₂, E) が両方ともソフトTᵢ空間となる条件は何か？
• RQ2 もし (X, T₁, T₂, E) がペアワイズソフトTᵢ空間であれば、ソフトトポロジー T₁ ∨ T₂ がソフトTᵢ空間である条件は何か？
• RQ3 もし (X, T₁, T₂, E) がペアワイズソフトTᵢ空間であれば、すべての e ∈ E に対して、パラメータ化されたビトポロジカル空間 (X, T₁ₑ, T₂ₑ) がTᵢ空間である条件は何か？
• RQ4 もし (X, T₁, T₂, E) がペアワイズソフトTᵢ空間であれば、すべての非空な二重ソフト部分空間 (Y, T₁Y, T₂Y, E) がTᵢ空間である条件は何か？
• RQ5 二重ソフトトポロジカル空間をどのようにROUGHset理論に応用し、情報システムにおける不確実性をモデル化できるか？

主な発見

• 本稿では、二重ソフトトポロジカル空間 (X, T₁, T₂, E) がペアワイズソフトT₂（ハウスドルフ）であるための必要十分条件として、任意の異なる点 x, y ∈ X に対して、x ∈ U、y ∈ V かつ U ∩ V = ∅ を満たすソフト開集合 U, V が存在することを証明している。
• ペアワイズソフトTᵢ空間であれば、(X, T₁, E) と (X, T₂, E) が両方ともソフトTᵢ空間であることが示されているが、逆は一般には成り立たない。
• ソフト閉包の和集合には (F₁ ∪ F₂)̅ = F̅₁ ∪ F̅₂ が成り立ち、ソフト閉包の共通部分には (F₁ ∩ F₂)̅ ⊆ F̅₁ ∩ F̅₂ が成り立つ。
• ソフト内部とソフト閉包の演算子は双対性を満たす：(F̅)ᶜ = (Fᶜ)̅ および (F̄)ᶜ = (Fᶜ)̄ であり、ソフト集合演算の一貫性が保証される。
• ソフト内部とソフト閉包の演算子は自己同一的であることが示されており、(F̄)̄ = F̄ および同様に (F̅)̅ = F̅ が成り立つ。
• 情報システムが下界および上界近似を通じて自然に二重ソフトトポロジーを誘導することを示し、ソフトトポロジーと不確実性モデリングを結びつける応用を提示した。