[論文レビュー] Separation of time-scales and model reduction for stochastic reaction networks

Hye-Won Kang, Thomas G. Kurtz|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2010

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、種の数と速度定数の1パラメータスケーリングを用いて、複数の時間スケールを活用することで、確率的反応ネットワークにおけるモデル還元の体系的フレームワークを構築する。スケーリングパラメータが無限大に近づく極限を厳密に確立し、平均化および時間スケールの分離の原則に基づき、複雑なネットワークを低次元の確率的・決定的・ハイブリッドモデルで近似可能にする。

ABSTRACT

A stochastic model for a chemical reaction network is embedded in a one-parameter family of models with species numbers and rate constants scaled by powers of the parameter. A systematic approach is developed for determining appropriate choices of the exponents that can be applied to large complex networks. When the scaling implies subnetworks have different time-scales, the subnetworks can be approximated separately providing insight into the behavior of the full network through the analysis of these lower dimensional approximations.

研究の動機と目的

• 広範な種の数と反応速度を有する大規模で複雑な生化学的反応ネットワークのモデリングという課題に対処すること。
• 確率的反応ネットワークにおける複数の時間スケールを特定・活用するための厳密な数学的フレームワークを開発すること。
• スケーリングと平均化技術を用いて、制限モデル（確率的・決定的・ハイブリッド）を導出することにより、モデル還元を可能にすること。
• 大規模ネットワークにおける種の数と速度定数の適切なスケーリング指数の選択を体系的に行う方法を提供すること。
• マーティンゲールの性質とJakubowski位相における弱収束を含む高度な確率的解析を用いて、制限過程の収束結果を確立すること。

提案手法

• 大きなパラメータ $ N $ のべき乗で種の数と速度定数をスケーリングすることにより、1パrameter族の確率的反応ネットワークモデルを形式化する。
• マコフ跳躍過程のダイナミクスを $ X(t) = X(0) + \sum_k Y_k\left(\int_0^t \lambda_k(X(s))\,ds\right) \zeta_k $ の形の確率的積分方程式で記述する。
• 時間スケールの分離を適用し、$ N \to \infty $ の際に非退化した極限を示すように、指数 $ \gamma $ を用いて明確な時間スケールを同定する。
• Khasminskii理論にインspiredされた平均化技術を用いて、速い変数を除去し、遅い成分の有効なダイナミクスを導出する。
• 特に、跳躍の合体が生じる場合にSkorohod位相が失敗するため、プロセスの弱収束を保証するためのJakubowski位相を用いる。
• 条件 (A.7) および (A.8) の下で、スケーリングされたプロセスの収束を確立し、制限過程が $ R_0 = \sum_{k=1}^m R_k $ を満たし、強度が $ \lambda_k(t) = \frac{\mu_k(t)}{\sum_l \mu_l(t)} \lambda_0(t) $ であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な確率的反応ネットワークにおいて、複数の時間スケールを体系的に同定・分離する方法は何か？
• RQ2 種の数と速度定数のどのスケーリング指数が、非退化的かつ良好に振る舞う制限モデルをもたらすか？
• RQ3 速い・遅い系の制限過程が、ハイブリッドまたは平均化モデルに収束する条件は何か？
• RQ4 厳密な単調性や正則性が欠如する状況下で、スケーリングされたカウンティングプロセスの収束をどのように厳密に確立できるか？
• RQ5 跳躍の合体が生じる可能性があるプロセスの相対コンパクト性と収束を保証するために、Jakubowski位相が果たす役割は何か？

主な発見

• 制限過程は $ R_0 = \sum_{k=1}^m R_k $ を満たし、$ R_k $ は対ごとに直交するカウンティングプロセスである。
• 制限における各 $ R_k $ の強度は $ \lambda_k(t) = \frac{\mu_k(t)}{\sum_l \mu_l(t)} \lambda_0(t) $ であり、合計強度の割合に応じた分割を反映している。
• Skorohodコンパクト性が失敗する場合でさえ、$ \{(R_0^N, R_1^N, \ldots, R_m^N)\} $ の列の相対コンパクト性がJakubowski位相で確立されている。
• 時間変換されたプロセス $ R_k^N \circ \gamma_N $ は分布収束し、時間変換とマーティンゲール技術を用いて制限ダイナミクスを導出可能である。
• 制限モデルは、スケーリングの状態と種および反応の時間スケールの相互作用に応じて、確率的・決定的・ハイブリッドのいずれかの形を取る。
• 本フレームワークは、確率的反応ネットワークにおける準定常状態仮定と平均化法を厳密に正当化し、従来のヒューリスティック手法を拡張する。