[論文レビュー] Separation of variables for bi-Hamiltonian systems

Gregorio Falqui, Marco Pedroni|ArXiv.org|Apr 15, 2002

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 26被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、$ωN$多様体を用いた内在的幾何的基準を確立し、Darboux-Nijenhuis (DN)座標が自然に分離をもたらすことに基づいて、双ハミルトニアン系における変数分離のための条件を提示する。ハミルトニアンが両方のポisson構造に関して可換であるときかつそのときに限り、DN座標で分離可能であることを証明し、Gel'fand-Zakharevich (GZ)系に適用することで、DN座標とStäckel生成子の明示的構成を通じて、分離関係がスペクトル曲線と一致することを示した。

ABSTRACT

We address the problem of the separation of variables for the Hamilton-Jacobi equation within the theoretical scheme of bi-Hamiltonian geometry. We use the properties of a special class of bi-Hamiltonian manifolds, called omega-N manifolds, to give intrisic tests of separability (and Staeckel separability) for Hamiltonian systems. The separation variables are naturally associated with the geometrical structures of the omega-N manifold itself. We apply these results to bi-Hamiltonian systems of the Gel'fand-Zakharevich type and we give explicit procedures to find the separated coordinates and the separation relations.

研究の動機と目的

• 双ハミルトニアン幾何学におけるハミルトン＝ヤコビ理論における変数分離のための内在的幾何的基準を構築すること。
• ハミルトニアンが$ωN$多様体上でDarboux-Nijenhuis座標で加法的分離可能となる条件を同定すること。
• Gel'fand-Zakharevich系における分離座標および分離関係を計算する明示的手順を提供すること。
• 分離関係がGZ系のスペクトル曲線と一致することを示すことにより、スペクトル曲線のアプローチと双ハミルトニアン幾何学を統一すること。

提案手法

• 非退化なシンプレクティック形式$ω$と再帰作用素$N$を備えた双ハミルトニアン多様体、すなわち$ωN$多様体を用い、分離可能性のための内在的幾何的構造を定義する。
• $ω$に関して正準的で、かつ$N$を対角化するDarboux-Nijenhuis (DN)座標を導入し、自然な分離座標としての役割を果たす。
• $n$個のハミルトニアンの族がDN座標で分離可能であるための必要十分条件として、両方のポisson括弧に関して可換であること（可換性）を確立する。
• ハミルトニアンのペンシル${\{\cdot,\cdot\}}_{\lambda}={\{\cdot,\cdot\}}' - \lambda{\{\cdot,\cdot\}}$から誘導される$ωN$構造を用いて、Gel'fand-Zakharevich (GZ)系に理論を適用する。ここでは、カシミール係数をハミルトニアンとして用いる。
• ハミルトニアンの横断的ベクトル場に沿った微分を含む行列$\mathsf{F}(\lambda)$を用い、$N$の最小多項式を計算し、その根が分離座標$\lambda_i$であることを求める。
• 再帰作用素に関連するベクトル場$Y$を満たすStäckel関数生成子$f(\lambda)$を用い、$\mu_i$を$\mu_i = f(\lambda_i)$として共役運動量を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双ハミルトニアン多様体において、ハミルトニアンがDarboux-Nijenhuis座標で分離可能となる内在的幾何的条件は何か？
• RQ2 与えられた双ハミルトニアン系に対して、分離座標および分離関係をアルゴリズム的に決定する方法は何か？
• RQ3 Gel'fand-Zakharevich系の分離関係は、そのスペクトル曲線と一致するか？
• RQ4 再帰作用素$N$は、分離座標$\lambda_i$および運動量$\mu_i$を生成するために果たす役割は何か？
• RQ5 GZ系のStäckel分離可能性は、行列$\mathsf{F}(\lambda)$およびその随伴行列の構造によって特徴づけられるか？

主な発見

• $\omega N$多様体上の$n$個のハミルトニアンの族は、Darboux-Nijenhuis座標で分離可能であるための必要十分条件として、両方のポアソン括弧に関して可換であることである。
• 分離座標$\lambda_i$は、ハミルトニアンの横断的ベクトル場に沿った微分を含む行列$\mathsf{F}(\lambda)$の行列式の根として得られる。
• 共役運動量$\mu_i$は、$\mu_i = f(\lambda_i)$で与えられ、ここで$f(\lambda) = - (L(\lambda)^2)_{31} / (L(\lambda))_{31}$は$Y(f(\lambda)) = 1$を満たすStäckel関数生成子である。
• Gel'fand-Zakharevich基底の分離関係は、$\det(\mu I - L(\lambda)) = 0$として与えられるスペクトル曲線と一致することが示され、Lax行列アプローチと整合的であることが確認された。
• $\mathfrak{sl}(3)$に基づくGZ系のシンプレクティック葉$S$は$\omega N$構造を備えており、構築されたDN座標においてGZのファイブレーションは分離可能である。
• 得られた分離関係は、$\mu_i H^{(1)}(\lambda_i) + H^{(2)}(\lambda_i) = \Phi_i(\lambda_i, \mu_i)$の形を取り、これはスペクトル曲線の方程式と同値である。