[論文レビュー] Separation-Sensitive Collision Detection for Convex Objects

Jeff Erickson, Leonidas Guibas+2 more|ArXiv.org|Sep 18, 1998

Robotic Path Planning Algorithms参考文献 20被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、移動する凸ポリトープ間の衝突検出のための分離感度付き運動データ構造（KDS）を導入し、物体間距離に応じて適応する分離証明書を維持する階層的エンVELOPEを用いる。直線的または凸運動では$O(\log(D/s))$、代数的移動では$O(\sqrt{D/s})$、剛体運動では$O(D/s)$の証明書更新が達成され、多対数時間の更新時間とヒステリシスを用いてイベント頻度を低減する。

ABSTRACT

We develop a class of new kinetic data structures for collision detection between moving convex polytopes; the performance of these structures is sensitive to the separation of the polytopes during their motion. For two convex polygons in the plane, let $D$ be the maximum diameter of the polygons, and let $s$ be the minimum distance between them during their motion. Our separation certificate changes $O(\log(D/s))$ times when the relative motion of the two polygons is a translation along a straight line or convex curve, $O(\sqrt{D/s})$ for translation along an algebraic trajectory, and $O(D/s)$ for algebraic rigid motion (translation and rotation). Each certificate update is performed in $O(\log(D/s))$ time. Variants of these data structures are also shown that exhibit \emph{hysteresis}---after a separation certificate fails, the new certificate cannot fail again until the objects have moved by some constant fraction of their current separation. We can then bound the number of events by the combinatorial size of a certain cover of the motion path by balls.

研究の動機と目的

• 凸ポリトープが離れている場合の従来の衝突検出の非効率性を解消するため、分離感度を導入する。
• 移動する凸ポリトープ間の最小距離$s$に応じてイベント頻度を調整する運動データ構造（KDS）を開発する。
• 証明書の更新回数を最小限に抑え、時間的連続性を活用することで、KDSがコンパクトで応答性が高く、局所的かつ効率的であることを保証する。
• 証明書の失敗を繰り返さないようヒステリシスを導入し、物体が顕著に移動するまで新たなイベントが発生しないようにする。
• 移動の種別（並進・回転）に応じてヒステリシスを一般化し、複雑な運動経路における性能向上を図る。

提案手法

• 凸ポリゴンの周囲にインフレートした階層的エンVELOPE（コンパス型またはダラード型）を構築し、分離証明書を維持する。
• 階層の各レベル間で頂点-辺または頂点-頂点の分離証明書を用い、障害が発生した場合にのみ更新する。
• 遅延評価を適用：証明書は障害が検出された場合にのみ更新され、無駄な計算を削減する。
• ヒステリシスを導入し、新たなイベントが発生するには$\Omega(d(P,Q))$の最小移動量または回転量が必要であると定義する。
• 運動経路の$\kappa$-クリア分解を定義し、幾何的被覆の議論を用いてイベント数の上限を導出する。
• 運動経路の組合せ的構造と分離距離を活用し、異なる運動タイプにおけるイベント数の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動データ構造を、物体間の実際の分離距離に感度を持たせるにはどうすればよいか？
• RQ2 分離感度付きKDSにおいて、異なる運動タイプ（並進、代数的、剛体）における証明書更新の最悪ケース数は何か？
• RQ3 ヒステリシスをKDSに組み込むことで、イベント数を低減しつつ正しさを保てるか？
• RQ4 階層的エンVELOPEの選択（コンパス型対ダラード型）が、イベント数と更新時間のトレードオフに与える影響は何か？
• RQ5 回転ヒステリシスは達成可能か？その実現に必要な条件は何か？

主な発見

• 2つの凸ポリゴンが運動する場合、直線的または凸並進では証明書更新回数が$O(\log(D/s))$、代数的並進では$O(\sqrt{D/s})$、代数的剛体運動では$O(D/s)$である。
• 各証明書更新は$O\big(\log(D/s)\big)$時間で実行され、大規模な分離距離下でも応答性が保証される。
• ヒステリシスにより、証明書が失敗した後、次のイベントは物体が$\Omega\big(d(P,Q)/\beta\big)$以上移動または回転した後にのみ発生する。ここで$\beta \approx 4.8284$である。
• イベント数は運動経路の$\kappa$-クリア分解のサイズによって上限が定まる。コンパス階層では$\kappa \approx 10.6569$である。
• ダラード階層を用いることでイベント数は減少するが、更新時間と$\beta$が増加する。一方、インフレートを変更することで$\beta$を1に限りなく近づけることができる。
• 回転ヒステリシスはコンパス階層でのみ達成可能であり、外部角に下限が必要であり、3次元配置空間における$\kappa$-クリア分解のサイズによってイベント数が上限づけられる。