[論文レビュー] Separators of fat points in P^n

Elena Guardo, Lucia Marino+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、点を削除するのではなく、その重複度を低減することによって、射影空間 ℙⁿ 内の太い点（fat points）に対する分離子の新しい定義を導入する。最小分離子の次数を、商イデアル I_{Z'}/I_Z を生成する形式の次数のタプルとして定義し、Z のヒルベルト関数とこのタプルが分かれば、Z' のヒルベルト関数が計算可能であることを証明する。主な結果は、通常の還元点に対する古典的分離子理論を太い点へ一般化したものであり、分離子次数タプルの各成分が、イデアル I_Z の最後のシンジーギー・モジュールにおけるシフトに対応することを示している。

ABSTRACT

In this paper we extend the definition of a separator of a point P in P^n to a fat point P of multiplicity m. The key idea in our definition is to compare the fat point schemes Z = m_1P_1 + ... + m_iP_i + .... + m_sP_s in P^n and Z' = m_1P_1 + ... + (m_i-1)P_i + .... + m_sP_s. We associate to P_i a tuple of positive integers of length v = deg Z - deg Z'. We call this tuple the degree of the minimal separators of P_i of multiplicity m_i, and we denote it by deg_Z(P_i) = (d_1,...,d_v). We show that if one knows deg_Z(P_i) and the Hilbert function of Z, one will also know the Hilbert function of Z'. We also show that the entries of deg_Z(P_i) are related to the shifts in the last syzygy module of I_Z. Both results generalize well known results about reduced sets of points and their separators.

研究の動機と目的

• 還元点に対する古典的分離子の概念を、重複度が1より大きい太い点へ拡張するため、点の削除から重複度の低減への操作の再定義を行う。
• 太い点の最小分離子の次数を、商イデアル I_{Z'}/I_Z を生成する形式の次数のタプルとして定義する。
• 還元点集合のヒルベルト関数計算の一般化を、太い点スキームへ確立する。
• 分離子次数タプルの成分が、定義イデアル I_Z の最後のシンジーギー・モジュールのシフトに関連することを示す。
• 同次太い点スキームで、その台が完全交差である場合、すべての点が同一の分離子次数タプルを持つことを示し、ケイリー＝バッハラシュの性質を一般化する。

提案手法

• ℙⁿ 内の太い点スキームとして、Z = m₁P₁ + ⋯ + mᵢPᵢ + ⋯ + mₛPₛ および Z′ = m₁P₁ + ⋯ + (mᵢ−1)Pᵢ + ⋯ + mₛPₛ を定義する。
• Pᵢ の分離子を、I_{Z′} ∓ I_Z に属する斉次形式 F として定義し、最小分離子の次数を、v = deg Z − deg Z′ 個の形式 F₁, ..., Fᵥ の次数のタプル (deg F₁, ..., deg Fᵥ) として定義する。
• 商環 R/I_Z を用いて、これらの形式の像が、R/I_Z-加群として I_{Z′}/I_Z を最小生成することを示す。
• Z′ のヒルベルト関数が、Z のヒルベルト関数と分離子次数タプルから計算可能であることを証明する。
• 分離子次数タプルの成分と、I_Z の最小自由分解における最後のシンジーギー・モジュールのシフトとの間の対応関係を確立する。
• この対応関係を、台が完全交差である同次太い点スキームに適用し、すべての点が同一の分離子次数タプルを持つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℙⁿ 内の還元点に対する古典的分離子の概念を、重複度が1より大きい太い点へどのように一般化できるか？
• RQ2 Z における点の重複度を低減して得られる太い点スキーム Z′ のヒルベルト関数と、Z のヒルベルト関数との関係は何か？
• RQ3 太い点の最小分離子の次数は、定義イデアル I_Z のシンジーギー・モジュールとどのように関係するか？
• RQ4 どのような条件下で、スキーム内のすべての太い点が同一の分離子次数タプルを持つのか？
• RQ5 還元点に対するケイリー＝バッハラシュの性質は、台が完全交差である太い点スキームへどの程度一般化できるか？

主な発見

• Z における太い点 Pᵢ の重複度を低減して得られる Z′ のヒルベルト関数は、Z のヒルベルト関数と Pᵢ の最小分離子の次数タプルから計算可能である。
• 分離子次数タプル deg_Z(Pᵢ) = (d₁, ..., dᵥ) の各成分は、I_Z の最小自由分解における最後のシンジーギー・モジュールのシフトに正確に対応しており、さらに −n だけずれている。
• 台が完全交差である同次太い点スキーム Z に対して、すべての点 Pᵢ が同一の分離子次数タプルを持つ。これは、任意の Pᵢ の重複度を低減して得られる Z′ がすべて同じヒルベルト関数を持つことを意味する。
• ℙ³ における型 (2,3,4) の完全交差で重複度 m=3 の場合、分離子次数タプルは明示的に (10,11,12,12,13,14) に計算される。
• この結果は、台が完全交差である同次太い点スキームに対して、すべての点が対称的な分離子次数を持つ一般化されたケイリー＝バッハラシュの性質を示唆する。
• この構成により、Z のヒルベルト関数と分離子次数タプルから直接 Z′ のヒルベルト関数を決定する計算的手法が得られる。