[論文レビュー] Sequence-covering maps on generalized metric spaces

Fucai Lin, Shou Lin|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、一般化された距離空間における列被覆写像に関する3つの未解決問題に対して肯定的な答えを提示する。特に、定義域に点可算基底を有するか、発展可能である場合、列被覆写像および境界コンパクト写像が1-列被覆であることを示している。さらに、開写像および閉写像が強い単調なモノリシティを保つこと、および閉列被覆写像がσ-点離散k-ネットワークを持つ空間を保つことを確立し、[13]、[16]、[28]における先行結果を発展させる。

ABSTRACT

Let $f:X ightarrow Y$ be a map. $f$ is a {\it sequence-covering map}\cite{Si1} if whenever $\{y_{n}\}$ is a convergent sequence in $Y$ there is a convergent sequence $\{x_{n}\}$ in $X$ with each $x_{n}\in f^{-1}(y_{n})$; $f$ is an {\it 1-sequence-covering map}\cite{Ls2} if for each $y\in Y$ there is $x\in f^{-1}(y)$ such that whenever $\{y_{n}\}$ is a sequence converging to $y$ in $Y$ there is a sequence $\{x_{n}\}$ converging to $x$ in $X$ with each $x_{n}\in f^{-1}(y_{n})$. In this paper, we mainly discuss the sequence-covering maps on generalized metric spaces, and give an affirmative answer for a question in \cite{LL1} and some related questions, which improve some results in \cite{LL1, Ls4, YP}, respectively. Moreover, we also prove that open and closed maps preserve strongly monotonically monolithity, and closed sequence-covering maps preserve spaces with a $σ$-point-discrete $k$-network. Some questions about sequence-covering maps on generalized metric spaces are posed.

研究の動機と目的

• 定義域に点可算基底を有するか、発展可能な場合、列被覆写像および境界コンパクト写像が1-列被覆であるかどうかという[13]における未解決問題を解決すること。
• [13]および[16]の結果を拡張し、定義域に同様の条件が成り立つ場合に、列商写像および境界コンパクト写像が擬似列被覆であることを証明すること。
• 定義域がg-距離化可能または点可算基底を有する場合、閉列被覆写像が1-列被覆であるかどうかを検討すること。
• 開写像および閉写像による、特に強い単調なモノリシティおよびσ-点離散k-ネットワークといった位相的性質の保存を確立すること。
• 閉写像によるσ-点離散k-ネットワークの保存に関する新たな質問を提示し、一般化された距離空間における列被覆写像の挙動を考察すること。

提案手法

• 一般化された距離空間における収束およびネットワーク構造を分析するために、σ-点離散k-ネットワークおよびwcs^*-ネットワークの概念を用いる。
• 超限帰納法およびℵ₁-コンパクト空間の性質を用いて、ある種の非可算集合族が矛盾を引き起こすことを示し、重要な部分族が可算であることを証明する。
• 外部基底および弱基底の概念を用いて、g-距離化可能な空間およびそのネットワーク的性質を特徴付ける。
• σ-点離散wcs^*-ネットワークとσ-点離散k-ネットワークの同値性を活用し、クラス間で保存結果を移転する。
• 有限部分族選択性質（補題5.12）を用いて、点離散族から有限部分被覆を抽出し、コンパクト性およびネットワークの有限性を保証する。
• 列被覆写像および1-列被覆写像の定義を応用し、被覆域における収束列に投影される定義域内の収束列を構成することで、適切な逆像の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定義域Xが点可算基底を有するか、発展可能である場合、列被覆写像および境界コンパクト写像f:X→Yは、必然的に1-列被覆であるか？
• RQ2 定義域Xが点可算基底を有するか、発展可能である場合、列商写像および境界コンパクト写像f:X→Yは、擬似列被覆であるか？
• RQ3 定義域Xがg-距離化可能または点可算基底を有する場合、閉列被覆写像f:X→Yは1-列被覆であるか？
• RQ4 開写像および閉写像は、一般化された距離空間において強い単調なモノリシティを保つか？
• RQ5 閉写像は、σ-点離散k-ネットワークを持つ空間を保つか？

主な発見

• 文献[13]の質問1.1に対して肯定的解答が与えられた：点可算基底を有する空間または発展可能な空間上での列被覆写像および境界コンパクト写像は1-列被覆である。
• 質問1.2についても肯定的解決が得られた：点可算基底を有するか発展可能な空間上での列商写像および境界コンパクト写像は、擬似列被覆である。これは[13]および[16]の結果を改善する。
• Xがg-距離化可能または点可算基底を有する場合、質問1.3に対しても肯定的解答が得られた。この条件下で、閉列被覆写像は1-列被覆である。
• 開写像および閉写像が一般化された距離空間において強い単調なモノリシティを保つことが証明された。
• 閉列被覆写像は、σ-点離散k-ネットワークを持つ性質を保つことが、σ-点離散wcs^*-ネットワークとの同値性を用いて確立された。
• ℵ₁-コンパクト空間にσ-点離散wcs^*-ネットワークが存在する場合、非可算な点ファイバーを除去し、孤立点を追加することで、可算なネットワークを構成し、そのネットワークが可算であることを証明した。