[論文レビュー] Sequences from zero entropy noncommutative toral automorphisms and Sarnak Conjecture

Wen Huang, Zhengxing Lian+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$C^*$-代数におけるゼロエントロピー非可換トーラス自己同型によって生成される系列が、ニル系列とゼロ密度系列に分解されることを確立している。ボイクレーツ＝ブラウンエントロピーおよびノルム群上の表現論を用いて、著者たちはこれらの系列がモービウス関数から線形的に離れていることを証明し、このクラスの系について、非可換 $C^*$-代数的バージョンのサルナック予想を確認した。

ABSTRACT

In this paper we study $C^*$-algebra version of Sarnak Conjecture for noncommutative toral automorphisms. Let $A_Θ$ be a noncommutative torus and $α_Θ$ be the noncommutative toral automorphism arising from a matrix $S\in GL(d,\mathbb{Z})$. We show that if the Voiculescu-Brown entropy of $α_Θ$ is zero, then the sequence $\{ρ(α_Θ^nu)\}_{n\in \mathbb{Z}}$ is a sum of a nilsequence and a zero-density-sequence, where $u\in A_Θ$ and $ρ$ is any state on $A_Θ$. Then by a result of Green and Tao, this sequence is linearly disjoint from the Möbius function.

研究の動機と目的

• モービウス関数からの離散性に関するサルナック予想を、非可換 $C^*$-代数、特に非可換トーラスへと拡張すること。
• ゼロボイクレーツ＝ブラウンエントロピーを有する非可換トーラス自己同型から生じる系列の分析。
• これらの系列がニル系列とゼロ密度系列に分解されることにより、モービウス関数から線形的に離れていることを示すこと。
• 非可換力学系における決定的系列を研究するための $C^*$-代数的枠組みを確立すること。

提案手法

• ゼロエントロピー自己同型とモービウス関数からの離散性を結びつける $C^*$-代数的フレームワークを用いてサルナック予想を定式化する。
• ボイクレーツ＝ブラウンエントロピー理論を適用して、ゼロエントロピーを有する非可換トーラス自己同型を分類する。
• ヒルバート空間上のユニタリ作用素を用いて力学系を表現し、状態ベクトルを連続部分空間および弱混合部分空間の成分に分解する。
• ノルム群上の多項式群作用を用いて、連続部分空間上のユニタリ表現の行列係数がニル系列を生じることを示す。
• 弱混合成分がゼロ密度系列しか寄与せず、その寄与はケサロ平均に影響しないことを証明する。
• グリーンとトウの結果（ニル系列はモービウス関数から線形的に離れている）を応用して、主要な結果を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ボイクレーツ＝ブラウンエントロピーがゼロである非可換トーラス自己同型に対して、$C^*$-代数的バージョンのサルナック予想は検証可能か？
• RQ2 自動同型 $\alpha_{\Theta}$ がゼロエントロピーであるとき、系列 $\{\rho(\alpha_{\Theta}^n u)\}$ の動的構造は何か？
• RQ3 自動同型のユニタリ表現のスペクトル成分は、系列の算術的性質にどのように影響するか？
• RQ4 ゼロエントロピーの場合に、系列 $\{\rho(\alpha_{\Theta}^n u)\}$ はモービウス関数から線形的に離れているか？
• RQ5 このような系列は、ニル系列と無視できる（ゼロ密度）部分に分解可能か？

主な発見

• ボイクレーツ＝ブラウンエントロピーがゼロであるとき、系列 $\{\rho(\alpha_{\Theta}^n u)\}_{n \in \mathbb{Z}}$ がニル系列とゼロ密度系列の和として表せることを示した。
• ニル系列成分は、自動同型に対して不変なユニタリ表現の連続スペクトル部分空間から生じる。
• 弱混合成分はゼロ密度系列しか寄与せず、その寄与はモービウス関数に関するケサロ平均において消える。
• この分解は、ノルム群上の多項式群作用の行列係数がニル系列を生じることに依存する。
• 結果として、ゼロエントロピー非可換トーラス自己同型について、$C^*$-代数的バージョンのサルナック予想が確認された。
• 証明は、多項式群の要素の帰納的分解と、連続スペクトル部分空間における固有ベクトルの有限線形結合による近似に依拠している。