[論文レビュー] Sequences in non-commutative L^p-spaces

Narcisse Randrianantoanina|ArXiv.org|Apr 24, 2000

Advanced Banach Space Theory参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非可換 $L^p$-空間への Kadec-Pe{\textbackslash}textendash{}Pelczy{\textbackslash}textendash{}ski の部分列分解の拡張を、非可換設定における等積分性を導入することで実現する。$E(\mathcal{M},\tau)$ における有界列で、$\alpha$-凸性および定数 1 の下位 $q$-推定を満たす再配置不変 quasi-Banach 関数空間 $E$ を用いるとき、その列は $E$-等積分性を持つ部分列と、互いに分離したスペクトル射影を持つ部分列に分解可能である。この結果から、$1\leq p<\infty$ に対して $L^p(\mathcal{M},\tau)$ の任意の部分空間は、$\ell^p$ のほぼ等長コピーを含むか、それとも $L^p(\mathcal{M},\tau)$ に強く埋め込まれる。

ABSTRACT

Let $\cal M$ be a semi-finite von Neumann algebra equipped with a distinguished faithful, normal, semi-finite trace $τ$. We introduce the notion of equi-integrability in non-commutative spaces and show that if a rearrangement invariant quasi-Banach function space $E$ on the positive semi-axis is $α$-convex with constant 1 and satisfies a non-trivial lower $q$-estimate with constant 1, then the corresponding non-commutative space of measurable operators $E({\cal M}, τ)$ has the following property: every bounded sequence in $E({\cal M}, τ)$ has a subsequence that splits into a $E$-equi-integrable sequence and a sequence with pairwise disjoint projection supports. This result extends the well known Kadec-Pełczyński subsequence decomposition for Banach lattices to non-commutative spaces. As applications, we prove that for $1\leq p

研究の動機と目的

• 古典的な Kadec-Pe{\textbackslash}textendash{}Pelczy{\textbackslash}textendash{}ski の部分列分解を、可測作用素の非可換対称空間へ一般化すること。
• 非可換 $L^p$-空間における等積分性を定義し、弱コンパクト性の非可換類似物として用いること。
• $1\leq p<\infty$ に対して、非可換 $L^p(\mathcal{M},\tau)$ の部分空間が $\ell^p$ のほぼ等長コピーを含むか、それとも強く埋め込まれるかを特徴づけること。
• $\alpha$-凸性および定数 1 の下位 $q$-推定を満たす quasi-Banach 関数空間に対して、分割性を確立すること。
• 特に $0<p<\infty$ に対して、可換 $L^p$-空間からの結果を非可換設定へ拡張すること。

提案手法

• von ニューマン代数の双対の弱コンパクト性の Akemann の特徴づけに基づく、非可換な等積分性の概念を導入する。
• 可測作用素 $x \in \widetilde{\mathcal{M}}$ の減少順列を、一般化された特徴値関数 $\mu_t(x)$ を用いて定義する。
• 測度位相 $d(x,y) = \inf\{t \geq 0 : \mu_t(x-y) \leq t\}$ を $\widetilde{\mathcal{M}}$ 上に定義し、収束および等積分性の分析に用いる。
• スペクトル射影 $e^{\vert x\vert}(B)$ を用い、$p_n \downarrow 0$ となる減少列の射影を構成することで、作用素を分離可能および等積分的部品に分解する。
• 部分列 $\{x_{n_k}\}$ を $x_{n_k} = \varphi_k + \zeta_k$ とし、$\{\varphi_k\}$ が $E$-等積分的で、$\{\zeta_k\}$ が互いに分離したスペクトル射影を持つように構成する。
• 関数空間 $E$ の Fatou 性および順序連続性を用い、このような分解の存在を保証する。これは、Banach ラティス理論からの結果の一般化である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $0 < p < \infty$ に対して、Kadec-Pe{\textbackslash}textendash{}Pelczy{\textbackslash}textendash{}ski の部分列分解を非可換 $L^p$-空間へ拡張できるか。
• RQ2 非可換対称空間における弱コンパクト性および部分列の分割を保証する、等積分性の非可換類似物は何か。
• RQ3 再配置不変関数空間 $E$ にどのような条件を課すと、対応する非可換対称空間 $E(\mathcal{M},\tau)$ が等積分的部品と分離射影部品に部分列に分解可能となるか。
• RQ4 $1 \leq p < \infty$ に対して、$L^p(\mathcal{M},\tau)$ の任意の部分空間は、$\ell^p$ のほぼ等長コピーを含むか、それとも強く埋め込まれるか。
• RQ5 Kalton および Rosenthal の結果（$p < 2$ のとき $\ell^p$ は $L^p[0,1]$ に強く埋め込まれない）の非可換類似物は存在するか。

主な発見

• $E(\mathcal{M},\tau)$ における有界列で、$\alpha$-凸性および定数 1 の下位 $q$-推定を満たす再配置不変 quasi-Banach 関数空間 $E$ を用いるとき、その列は $E$-等積分的部品と、互いに分離したスペクトル射影を持つ部品に分割可能な部分列を持つ。
• $1 \leq p < \infty$ に対して、$L^p(\mathcal{M},\tau)$ の任意の部分空間は、$\ell^p$ のほぼ等長コピーを含むか、それとも $L^p(\mathcal{M},\tau)$ に強く埋め込まれる。これは可換の場合の一般化である。
• この結果は、定数 1 の $\alpha$-凸性および非自明な定数 1 の下位 $q$-推定を満たす quasi-Banach 空間に対しても成り立ち、Banach 空間を超える。
• 分解は測度位相に関して安定であり、$\|x_{n_k} - (p_{n_k} - p_{n_{k+1}})x_{n_k}(p_{n_k} - p_{n_{k+1}})\|_{E(\mathcal{M},\tau)} \to 0$ を満たす減少射影列 $p_n \downarrow 0$ の構成に依存する。
• 証明により、$\varphi_k = y_{n_k} + [z_{n_k} - e_k z_{n_k} e_k]$ で定義される $\{\varphi_k\}$ が $E$-等積分的であり、$\{e_k\}$ が互いに分離した射影であることが示される。
• 有限 von Neumann 代数および $p > 2$ の場合、$L^p(\mathcal{M},\tau)$ の任意の部分空間は、$\ell^p$ のほぼ等長コピーを含むか、それともヒルベルト空間に同型である。