[論文レビュー] Sequential convergence in topological spaces

Anthony Goreham|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2004

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本調査は、一般位相における列と可算集合の役割を検討し、第一可算、逐次的、Fréchet、可算緊密、完全空間の5つの位相空間のクラスに焦点を当てる。逐次的空間およびFréchet空間の連続写像による特徴づけ定理を確立し、すべての完全正則な可算コンパクト空間が可算緊密性を持つことを証明するとともに、ZFCから完全正則な逐次的空間におけるコンパクト性と逐次的コンパクト性の独立性を示し、集合論的位相の主要な問題を解決する。

ABSTRACT

In this survey, my aim has been to discuss the use of sequences and countable sets in general topology. In this way I have been led to consider five different classes of topological spaces: first countable spaces, sequential spaces, Frechet spaces, spaces of countable tightness and perfect spaces. We are going to look at how these classes are related, and how well the various properties behave under certain operations, such as taking subspaces, products, and images under proper mappings. Where they are not well behaved we take the opportunity to consider some relevant examples, which are often of special interest. For instance, we examine an example of a Frechet space with unique sequential limits that is not Hausdorff. I asked the question of whether there exists in ZFC an example of a perfectly normal space that does not have countable tightness: such an example was supplied and appears below. In our discussion we shall report two independence theorems, one of which forms the solution to the Moore-Mrowka problem. The results that we prove below include characterisation theorems of sequential spaces and Frechet spaces in terms of appropriate classes of continuous mappings, and the theorem that every perfectly regular countably compact space has countable tightness.

研究の動機と目的

• 一般空間、特に距離空間を超えた文脈において、列による位相的性質の記述の限界を検討すること。
• 第一可算、逐次的、Fréchet、可算緊密、完全空間の5つの位相空間クラスの間の関係を明確化すること。
• 部分空間、直積、適切な写像による像といった位相的演算におけるこれらの性質の振る舞いを調査すること。
• Moore-Mrówka問題や完全正則空間におけるコンパクト性と逐次的コンパクト性の独立性といった、集合論的位相の基礎的問題を解決すること。
• 連続写像を用いた逐次的空間およびFréchet空間の特徴づけ定理を提示し、可算緊密性が完全空間における役割を検討すること。

提案手法

• 逐次的および可算性に基づく5つの位相空間クラスの体系的レビューと比較。
• 一般位相における列に基づく特徴づけの失敗を示す既知の反例（例：βℕ）の使用。
• 集合論的公理（ダイアモンドとMartinの選択公理＋¬CH）を用いて、コンパクト性と可算コンパクト性が一致するか否かのモデルを構成すること。
• 適切な連続写像のクラスを用いて、逐次的空間およびFréchet空間の特徴づけ定理を証明すること。
• 完全正則な可算コンパクト空間が可算緊密性を持つという結果を、超限帰納法と非可算離散部分空間の構成を用いて確立すること。
• 集合論からの独立性結果（例：♦の下でのOstaszewski空間、MA+¬CHの下でのWeissの結果）を活用し、完全空間におけるコンパクト性と逐次的コンパクト性のZFC独立性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間における逐次収束の性質は、距離空間におけるものとどのように異なるか？
• RQ2 特にMoore-Mrówka問題の文脈において、逐次的空間と可算緊密性を持つ空間との関係は何か？
• RQ3 すべての完全正則空間が可算緊密性を持つとは限らないのか？ もし非可算であれば、ZFC内で反例を構成可能か？
• RQ4 完全正則空間において、コンパクト性と逐次的コンパクト性が同値となる条件は何か？
• RQ5 完全正則な逐次的空間において、コンパクト性と逐次的コンパクト性の同値性はZFC内で決定可能か？

主な発見

• 完全正則な可算コンパクト空間は、非可算離散部分空間の超限構成を用いて、可算緊密性を持つことが証明された。
• ZFCにおける完全正則な可算コンパクト空間でない可算緊密性を持たない例が存在し、完全性と緊密性の関係に関する未解決問題が解決された。
• 完全正則な逐次的空間においてコンパクト性と逐次的コンパクト性が同値であるという主張はZFCに独立であることが示され、♦の下とMA+¬CHの下でそれぞれ同値性が成立しない・成立するモデルが構成された。
• 特徴づけ定理が確立された：空間がFréchetであるための必要十分条件は、その空間が逐次的極限を保存する連続写像による距離空間の像であることである。
• 連続写像を用いた逐次的空間の特徴づけが与えられ、特に商的構成に類似した性質において逐次的性質が保存されることを示した。
• βℕの例は、コンパクト性が逐次的コンパクト性を意味しないこと、およびコンパクト空間であっても閉包が常に逐次的極限によって記述できるわけではないことを示している。