[論文レビュー] Sequential Lower Semi-Continuity of Non-Local Functionals

Peter Elbau|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 7被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ルベーグ空間上の非局所汎関数の逐次下半連続性の必要十分条件を確立する。汎関数 $\mathcal{J}(u) = \int_X\int_X f(x,y,u(x),u(y))\,dx\,dy$ が弱逐次下半連続であるための必要十分条件は、ほとんど everywhere での $x$ およびすべての $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$ に対して、写像 $\Phi_{x,\psi}(w) = \int_X f(x,y,w,\psi(y))\,dy$ が凸であることである。スカラーの場合（$n=1$）、この条件はほとんど everywhere で $f(x,y,w,z)$ の逐次的凸性と同値である。

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition for non-local functionals on vector-valued Lebesgue spaces to be weakly sequentially lower semi-continuous. Here a non-local functional shall have the form of a double integral of a density which depends on the function values at two different points. The characterisation we get is essentially that the density has to be convex in one variable if we integrate over the other one with an arbitrary test function in it. Moreover, we show that this condition is in the case of non-local functionals on real-valued Lebesgue spaces (up to some equivalence in the density) equivalent to the separate convexity of the density.

研究の動機と目的

• 非局所汎関数の $L^p$ 空間における弱逐次下半連続性の特徴付けを確立すること。
• 特に画像解析における非局所汎関数を含む変分問題における最小化子の存在を扱うこと。
• 局所汎関数理論で用いられるものより弱い仮定のもとでの非局所汎関数の可積分性条件を明確にすること。
• スカラーの場合（$n=1$）において、$\Phi_{x,\psi}$ の凸性条件が、ほとんど everywhere で被積分関数 $f(x,y,w,z)$ の逐次的凸性と同値であることを示すこと。
• 同じ汎関数を定める異なる $f$ の表現の間の曖昧さを解消し、同等な形の $f$ を特定すること。

提案手法

• 非局所汎関数を $L^p(X;\mathbb{R}^n)$ 上で $\mathcal{J}(u) = \int_X\int_X f(x,y,u(x),u(y))\,dx\,dy$ と定義する。$p \in [1,\infty]$ である。
• すべての $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$ およびほとんど everywhere での $x \in X$ に対して、補助写像 $\Phi_{x,\psi}(w) = \int_X f(x,y,w,\psi(y))\,dy$ を導入する。
• 弱位相（$L^p$ では弱位相、$L^\infty$ では弱*位相）における逐次下半連続性が成り立つための必要十分条件が、ほとんど everywhere での $x$ およびすべての $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$ に対して $\Phi_{x,\psi}$ が凸であることであることを証明する。
• 可測選択定理と積分不等式を用いて、下半連続性から必要条件を導出する。
• スカラーの場合（$n=1$）において、$\Phi_{x,\psi}$ の凸性が、$X \times X$ 上 almost everywhere で $f(x,y,w,z)$ の逐次的凸性と同値であることを示す。
• 局所関数汎関数理論で用いられる標準的な成長バウンドよりも弱い条件で、二重積分の可積分性条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱位相に関して $L^p$ 空間上の非局所汎関数の逐次下半連続性を保証する条件は何ですか？
• RQ2 写像 $\Phi_{x,\psi}(w) = \int_X f(x,y,w,\psi(y))\,dy$ の凸性は、被積分関数 $f$ の構造とどのように関係していますか？
• RQ3 スカラーの場合（$n=1$）において、$\Phi_{x,\psi}$ の凸性条件は、$f(x,y,w,z)$ の逐次的凸性と同値ですか？
• RQ4 被積分関数 $f$ は、汎関数 $\mathcal{J}$ を変えずに同等な形に変更可能でしょうか。その場合、特徴付けにどのような影響がありますか？
• RQ5 $\mathcal{J}(u)$ がすべての $u \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$ に対して適切に定義されるために必要な $f$ の可積分性条件は何か？

主な発見

• 汎関数 $\mathcal{J}$ が $L^p(X;\mathbb{R}^n)$ 上で $p \in (1,\infty)$ の弱位相に関して逐次下半連続であるための必要十分条件は、ほとんど everywhere での $x \in X$ およびすべての $\psi \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$ に対して $\Phi_{x,\psi}(w)$ が凸であることである。
• $p = \infty$ の場合、同じ凸性条件のもとで弱*位相に関して逐次下半連続性が成り立つ。
• スカラーの場合（$n=1$）、$\Phi_{x,\psi}$ の凸性は、$X \times X$ 上 almost everywhere で $f(x,y,w,z)$ の逐次的凸性と同値である（被積分関数の同値性を除く）。
• $\mathcal{J}(u)$ がすべての $u \in L^p(X;\mathbb{R}^n)$ に対して可積分であることは、局所関数汎関数理論で用いられる標準的バウンドよりも弱い成長条件のもとで保証できる。
• $f(x,y,w,z)$ が almost everywhere で $(w,z)$ に関して下半連続で、$f$ に下界があると仮定すれば、$\mathcal{J}$ は強位相に関して逐次下半連続である。
• 本稿では、被積分関数の曖昧さを解消し、$n=1$ の場合、任意の $f$ が同じ $\mathcal{J}$ を定めるならば、$\tilde{f}(x,y,w,z)$ を $\tilde{f}$ が almost everywhere で逐次的凸であるような同値関数に置き換えることができる。この置き換えが可能であるための必要十分条件は、すべての $\psi$ に対して $\Phi_{x,\psi}$ が凸であることである。