[論文レビュー] Sequential Regression for Optimal Stopping Problems

Bobby Gramacy, Michael Ludkovski|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Auction Theory and Applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、停止境界付近でのステップごとのステップサイズを適応的に細かくする逐次回帰手法を導入し、継続領域と停止領域の動的かつ局所的な推定を可能にする最適停止問題のための手法を提案する。再帰的設計と回帰を用いることで、標準的なLongstaff-Schwartz法と比較して設計サイズを最大10倍まで削減しつつ、多変数のBermudanオプションの価格設定においても精度を維持する。

ABSTRACT

We propose a new approach to solve optimal stopping problems via simulation. Working within the backward dynamic programming/Snell envelope framework, we augment the methodology of Longstaff-Schwartz that focuses on approximating the stopping strategy. Namely, we introduce adaptive generation of the stochastic grids anchoring the simulated sample paths of the underlying state process. This allows for active learning of the classifiers partitioning the state space into the continuation and stopping regions. To this end, we examine sequential design schemes that adaptively place new design points close to the stopping boundaries. We then discuss dynamic regression algorithms that can implement such recursive estimation and local refinement of the classifiers. The new algorithm is illustrated with a variety of numerical experiments, showing that an order of magnitude savings in terms of design size can be achieved. We also compare with existing benchmarks in the context of pricing multi-dimensional Bermudan options.

研究の動機と目的

• シミュレーションベースの最適停止手法の効率を向上させ、正確な近似に必要な設計点の数を削減すること。
• Longstaff-Schwartz法における固定グリッド設計の制限を克服し、継続領域と停止領域の境界付近に動的かつ適応的にサンプルパスを配置すること。
• 状態空間を継続領域と停止領域に分割する分類器を学習・改善する再帰的回帰フレームワークの開発。
• 多変数最適停止問題において、精度を損なわずに計算コストを大幅に削減すること。
• 高次元Bermudanオプションの価格設定において、提案手法を既存手法と比較すること。

提案手法

• 本手法は、推定された停止境界付近に逐次的に新しいグリッド点を配置する設計スキームを用い、計算負荷を最も必要とする領域に集中させる。
• 最適停止時刻と価値関数を定義するために、スネル包と逆方向動的計画法を用いる。
• 誤差推定と継続領域と停止領域の境界付近の局所的点密度に基づいて、適応的細分化を実行する。
• 新たに追加された設計点に基づいて、状態空間を分割する分類器を更新する再帰的回帰アルゴリズムを用いる。
• 各設計点に局所的回帰モデルを維持することで、条件付き期待値の効率的かつ局所的な推定を可能にする。
• 活性学習の原則を確率的最適制御に統合し、収束性を向上させ、必要なサンプルサイズを削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 停止境界付近での適応的グリッド細分化は、シミュレーションベースの最適停止において必要な設計点の数を顕著に削減できるか？
• RQ2 多変数オプションにおいて、逐次回帰手法の性能は標準的なLongstaff-Schwartz法と比較して、精度と計算コストの面で優れているか？
• RQ3 再帰的回帰アルゴリズムによる局所的細分化によって、継続領域と停止領域の推定はどの程度向上するか？
• RQ4 逐次的設計が最適停止価値推定の収束速度と安定性に与える影響は何か？
• RQ5 高次元設定において、本手法は設計サイズを大幅に削減しつつも、精度を維持できるか？

主な発見

• 提案手法は、標準的なLongstaff-Schwartz法と比較して、設計点の数を最大10倍まで削減でき、計算効率が顕著に向上した。
• 停止境界付近でのグリッド点の適応的配置により、収束が速くなり、価値関数の推定精度が向上した。
• 数値実験により、さまざまな多変数Bermudanオプション価格設定問題において一貫した性能向上が確認された。
• 再帰的回帰フレームワークにより、局所的細分化が有効に機能し、高次元状態空間における分類器の精度が向上した。
• 設計サイズの効率性において、既存のベンチマークを上回ったが、精度の水準は競争的であった。
• 逐次的設計戦略により、停止境界の幾何的性質を効果的に捉え、情報量が少ない領域での不要なサンプリングを削減できた。