[論文レビュー] Serendipity Face and Edge VEM Spaces

L. Beirão da Veiga, Franco Brezzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 23被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元の $H(\textrm{div})$ および $H(\textrm{curl})$-適合問題に対して、順応的面および辺仮想有限要素法（VEM）空間を導入する。ノード型の順応的VEMを混合有限要素フレームワークに一般化したものであり、内部自由度を境界および回転適合自由度によって削減することで、最適な収束性を維持しながら、特に複雑な幾何形状を有する多角的メッシュ上での計算コストを顕著に低減する。

ABSTRACT

We extend the basic idea of Serendipity Virtual Elements from the previous case (by the same authors) of nodal ($H^1$-conforming) elements, to a more general framework. Then we apply the general strategy to the case of $H(div)$ and $H(curl)$ conforming Virtual Element Methods, in two and three dimensions.

研究の動機と目的

• ノード型 $H^1$-適合要素から $H(\textrm{div})$ および $H(\textrm{curl})$-適合空間への順応的VEMの拡張を2次元および3次元で行う。
• 順応的戦略を用いて内部自由度および面内自由度を削除することで、$H(\textrm{div})$ および $H(\textrm{curl})$-適合VEMの自由度数を低減する。
• 混合定式化における inf-sup 穩定性を保証するため、$B$-適合性（フォルティン型補間子）を確保する。
• 多項式射影および境界自由度を組み込むことで、$H(\textrm{div})$ および $H(\textrm{curl})$ 適合性を両立させる、以前のVEM空間の一般化を行う。

提案手法

• 境界自由度を適切に選択することで、$H(\textrm{div})$ および $H(\textrm{curl})$ 適合性を保つ順応的VEM空間を構築する一般的なフレームワークを提案する。
• 境界自由度（接線および法線方向のフラックス、面における回転関連モーメント、および $\mathscr{S}_k$-特定のための体積モーメント）を用いて局所的VEM空間を定義する。
• 必要な自由度のみを保持する順応的削減を実装する：(1) 線分／面における接線および法線フラックス、(2) 面における回転関連モーメント、(3) $\mathscr{S}_k$-特定のための次数 $k+1-\eta_E$ の体積モーメント。
• 混合定式化における安定性を保証するため、$B$-適合補間子（フォルティン型）を用いる。特に inf-sup 条件の満たしを確保する。
• 多角的要素に適用する際、多項式射影に対して不変であり、かつ回転および発散作用素と適合するように、辺および面上に自由度を定義する。
• 必要に応じて $\eta_E \leq k+1$ の場合に追加自由度を体系的に選択する手順を導入し、$\mathscr{S}_k$ を特定するための次数 $k+1-\eta_E$ の体積モーメントを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノード型 $H^1$-適合VEMから $H(\textrm{div})$ および $H(\textrm{curl})$-適合VEMへの順応的削減を2次元および3次元に一般化する方法は何か？
• RQ2 内部自由度および面内自由度を削除しつつ、$H(\textrm{div})$ および $H(\textrm{curl})$ 適合性を維持するための最小自由度集合は何か？
• RQ3 混合定式化における安定性を保証するため、$B$-適合補間子を $H(\textrm{div})$ および $H(\textrm{curl})$ 順応的VEMに構築可能か？
• RQ4 自由度数は、特に $\eta_E \leq k+1$ の場合に、要素の幾何形状にどのように依存するか？
• RQ5 非凸要素において、次数 $k+1-\eta_E$ の体積モーメントが $\mathscr{S}_k$ の多項式空間特定に果たす役割は何か？

主な発見

• $H(\textrm{div})$ および $H(\textrm{curl})$ 適合問題に対する順応的VEM空間は、標準VEMと比較して自由度を顕著に削減しながらも、最適な収束率を達成する。
• 適切な自由度の選択により $B$-適合性（フォルティン型補間子）を維持することで、混合定式化における安定性を保証する。
• 凸要素では、自由度 (8.31)–(8.33) および (8.25) が $\eta_E > k+1$ の場合に $\mathscr{S}_k$ 内のすべての多項式を一意に特定し、追加の内部自由度の必要性を排除する。
• $\eta_E \leq k+1$ の場合、核 $\mathcal{Z}_k$ の次元は $\pi_{k+1-\eta,3}$ であり、$\mathscr{S}_k$ を特定するための追加の次数 $k+1-\eta_E$ の体積モーメントが必要となる。
• 自由度削減の恩恵は、体積自由度の削減よりも、面における順応的エッジVEMを用いる場合に顕著に大きい。
• 境界 $\partial E$ を覆う平面数に基づく体系的な自由度選択により、歪みや非凸要素を含む多角的メッシュに対しても、本手法は安定である。