[論文レビュー] Series expansion in fractional calculus and fractional differential equations

Ming-Fan Li, Ji-Rong Ren+1 more|ArXiv.org|Oct 26, 2009

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、分数階微積分の基本定理に基づき、分数階微分可能関数に対する分数階テイラー級数を定義し、超幾何関数の一般化を図る分数級数展開法を提案する。無限に分数階微分可能な関数に対しては、分数階微分可能でない関数に対しても、複数の分数階数を用いたアプローチを拡張し、分数階微分方程式の解法における有効性を体系的な級数展開と係数決定によって示している。

ABSTRACT

Fractional calculus is the calculus of differentiation and integration of non-integer orders. In a recently paper (Annals of Physics 323 (2008) 2756-2778), the Fundamental Theorem of Fractional Calculus is highlighted. Based on this theorem, in this paper we introduce fractional series expansion method to fractional calculus. We define a kind of fractional Taylor series of an infinitely fractionally-differentiable function. Further, based on our definition we generalize hypergeometric functions and derive corresponding differential equations. For finitely fractionally-differentiable functions, we observe that the non-infinitely fractionally-differentiability is due to more than one fractional indices. We expand functions with two fractional indices and display how this kind of series expansion can help to solve fractional differential equations.

研究の動機と目的

• 分数階微積分の基本定理に裏付けられた体系的な分数級数展開法の開発。
• 無限に分数階微分可能な関数に対する分数階テイラー級数の定義により、分数階微分方程式の解析的取り扱いを可能にする。
• 超幾何関数を分数階に一般化し、その対応する微分方程式を導出する。
• 複数の分数階数の役割を特定することで、有限に分数階微分可能な関数の課題を解決する。
• 明示的な級数展開と係数計算を通じて、この方法が分数階微分方程式の解法において有効であることを示す。

提案手法

• カプト分数微分とリーマン＝リウヴィル積分を用いて、無限に分数階微分可能な関数に対する分数階テイラー級数展開を提案する。
• 特殊関数の形に分数階テイラー級数を適用することで、超幾何関数の分数階一般化を導出する。
• 分数微分可能性が無限でない関数のための二重指数級数展開を導入し、その指数は複数の分数階数 α と β に由来する。
• 級数展開を分数階微分方程式に適用し、同類項の係数を一致させることで解を得る。
• ガンマ関数の恒等式を用いて、m≥3 または n≥1 の場合に (x−a)^{mα + nβ} を含む項の係数を再帰的に計算する。
• 一般アルゴリズムを確立：指数を特定し、分数乗の一般化された級数に解を展開し、方程式に代入して再帰的に係数を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階微積分の基本定理を用いて、無限に分数階微分可能な関数に対する分数階テイラー級数を厳密に定義する方法は何か？
• RQ2 超幾何関数の分数階一般化とは何か？また、それが満たす微分方程式は何か？
• RQ3 一部の関数が無限に分数階微分可能でない理由は何か？また、複数の分数階数を用いてこの制限をどのように特徴づけられるか？
• RQ4 非整数階微分係数を有する分数階微分方程式を解くための体系的な級数展開法を開発できるか？
• RQ5 混合分数乗数を含む方程式における、多指数分数級数展開の係数を再帰的に計算する方法は何か？

主な発見

• 無限に分数階微分可能な関数に対して分数階テイラー級数が定義され、(x−a) の分数乗を用いた解析的表現が可能になる。
• 分数階テイラー級数を適用することで、分数階超幾何関数が一般化され、その対応する分数階微分方程式が導出される。
• 有限に分数階微分可能な関数では、α と β のような複数の分数階数の存在が障害を引き起こす。
• 方程式 $ D^{eta}_{a|x}y(x) + f(x)y(x) = g(x) $ の解は、$ (x-a)^{eta} $ と $ (x-a)^{eta+eta} $ の二重指数級数展開により得られ、係数はガンマ関数の比によって決定される。
• 級数展開の係数は再帰的に計算される：$ c_{mn} = -\frac{\text{Gamma}((m-1)\beta + n\beta + 1)}{\text{Gamma}(m\beta + n\beta + 1)} c_{(m-1)n} $ であり、初期項には閉形式の表現が存在する。
• この方法により、分数乗の一般化された級数を用いた係数一致問題に還元することで、分数階微分方程式が効果的に解かれる。