[論文レビュー] Series expansions in Fréchet spaces and their duals; construction of Fréchet frames

Stevan Pilipović, Diana T. Stoeva|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2008

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 16被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Fréchet空間 $X_F = \cap_{s\in\mathbb{N}_0} X_s$ 及びその双対空間に対して、Fréchetフレームおよび前Fréchetフレームを導入し、$X_F$ 及びその双対空間の要素が係数列 $\Theta_F = \cap_{s\in\mathbb{N}_0} \Theta_s$ を用いた級数展開をもつための条件を確立する。主な貢献は、与えられた $\Theta_0$-フレームが $\Theta_F$ に関してタイトな前Fréchetフレームとなるように、入れ子になった列 $\{X_s\}$ 及び $\{\Theta_s\}$ を構成する構成的技法の提供であり、バナッハ空間の射影極限における安定な再構成を可能にする。

ABSTRACT

Frames for Fréchet spaces $X_F$ with respect to Fréchet sequence spaces $Θ_F$ are studied and conditions, implying series expansions in $X_F$ and $X_F^*$, are determined. If $\{g_i\}$ is a $Θ_0$-frame for $X_0$, we construct a sequence $\{X_s\}_{s\in {\mathbb N}_0}$, $X_s\subset X_{s-1}$, $s\in {\mathbb N}$, for given $Θ_F$, respectively a sequence $\{Θ_s\}_{s\in {\mathbb N}_0}$, $Θ_s\subset Θ_{s-1}$, $s\in {\mathbb N}$, for given $X_F$, so that $\{g_i\}$ is a pre-$F$-frame (or $F$-frame) for $X_F$ with respect to $Θ_F$ under different assumptions given on $X_0$, $Θ_0$, $Θ_F$ or $X_0$, $Θ_0$, $X_F$.

研究の動機と目的

• Fréchet空間 $X_F = \cap_s X_s$ 及びその双対空間のためのフレーム理論を構築し、非ノルム可能な空間へのバナッハフレーム理論の拡張を図ること。
• 系列 $\{g_i\}_{i=1}^\infty \subset X_F^*$ がすべての $f \in X_F$ に対して $f = \sum_i g_i(f) f_i$ およびすべての $g \in X_F^*$ に対して $g = \sum_i g(f_i) g_i$ の形の級数展開を持つための条件を特定すること。
• 入れ子になった列 $\{X_s\}$ 及び $\{\Theta_s\}$ を構築し、$X_0$ における $\Theta_0$-フレームが $\Theta_F$ に関して $X_F$ に対して前FréchetフレームまたはFréchetフレームとなるようにすること。
• テスト関数空間およびその双対空間（例：$\mathcal{S}$ 及び $\mathcal{S}'$）におけるフレーム展開の枠組みを、射影極限を用いて提供すること。

提案手法

• Fréchet空間 $X_F$ 及びその双対空間に対する前FréchetフレームおよびFréchetフレームを、Fréchet系列空間 $\Theta_F$ を用いて定義し、バナッハフレームを一般化する。
• バナッハ空間 $X_s \supset X_{s+1}$ 及び系列空間 $\Theta_s \supset \Theta_{s+1}$ の構造を用いて、$X_F = \cap_s X_s$ 及び $\Theta_F = \cap_s \Theta_s$ を定義する。
• 各 $s$ に対して、$\|f\|_s^2 = \sum_i a_{i,s}^2 |\langle f, e_i\rangle_0|^2$ を満たす補助的系列 $\{z_i\}$ 及び重み $\{a_{i,s}\}$ を構成し、ノルムと係数列を関連付ける。
• フレーム作用素が極限で有界かつ可逆であることを保証するための条件 $\mathcal{A}_1'$, $\mathcal{A}_2'$, 及び $\mathcal{A}_3'$ を係数集合に課す。
• $\{g_i\}$ が $X_0$ における $\Theta_0$-フレームであり、$\{X_s\}$, $\{\Theta_s\}$ が適切に構成されているならば、$\{g_i|_{X_F}\}$ は $\Theta_F$ に関して $X_F$ に対してタイトな前Fréchetフレームであることを証明する。
• $X_F$ 及び $X_F^*$ の双対性を用いて、同じ係数列を用いて双対フレーム展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で $X_0$ における $\Theta_0$-フレームが射影極限 $X_F = \cap_s X_s$ に対して前Fréchetフレームに拡張可能か？
• RQ2 与えられた $\Theta_0$-フレームが、各 $X_s$ に対して $\Theta_s$-フレームのままとなるように、減少するバナッハ系列空間列 $\{\Theta_s\}$ を構成可能か？
• RQ3 与えられた $\Theta_0$-フレームが各 $X_s$ に対して $\Theta_s$-フレームとなるように、減少するバナッハ空間列 $\{X_s\}$ を構成可能か？ その結果、$X_F$ に対してFréchetフレームが得られるか？
• RQ4 係数列空間 $\Theta_F = \cap_s \Theta_s$ が、極限におけるフレーム作用素を用いた安定再構成を保証するための条件は何か？

主な発見

• 適切に構成された入れ子構造 $\{X_s\}$ 及び $\{\Theta_s\}$ を用いれば、$X_0$ における $\Theta_0$-フレームは $X_F = \cap_s X_s$ に対して $\Theta_F = \cap_s \Theta_s$ に関してタイトな前Fréchetフレームに拡張可能である。
• 前Fréchetフレームのフレーム作用素は有界かつ可逆であり、作用素ノルムが1以下に抑えられているため、$X_F$ における安定な再構成が保証される。
• 構成法により、各 $X_s$ における $X_F$ の稠密性および各 $\Theta_s$ における $\Theta_F$ の稠密性が保たれ、射影極限の位相的構造が維持される。
• すべての $g \in X_F^*$ に対して双対フレーム展開 $g = \sum_i g(f_i) g_i$ が成り立つことが確認され、Fréchet設定における双対性が裏付けられる。
• 本稿は、$\|f\|_s^2 = \sum_i a_{i,s}^2 |g_{i+1}(f)|^2$ を満たす明示的な重み $a_{i,s}$ 及びベクトル $z_i$ の構成を提供し、ノルムと係数列を関連付ける。
• 本稿は、$F$-有界射影の未解決問題に対して構成的解を提供し、構成された条件下で、タイトな前Fréchetフレームに対してこのような射影が存在することを示している。