[論文レビュー] Series of convex functions: subdifferential, conjugate and applications to entropy minimization

S. Schuh, Constantin Zălinescu|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 3被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、局所凸空間における凸関数の無限級数へ凸解析を拡張し、そのような和の部分微分および共役関数の公式を導出する。これらの結果を用いて統計物理学におけるエントロピー最小化問題を厳密に解き、3次元調和振動子の具体的な例を提示。部分微分および共役計算を用いて最大エントロピー分布の一意性を証明する。

ABSTRACT

A formula for the sub\-differential of the sum of a series of convex functions defined on a Banach space was provided by X. Y. Zheng in 1998. In this paper, besides a slight extension to locally convex spaces of Zheng's results, we provide a formula for the conjugate of a countable sum of convex functions. Then we use these results for calculating the sub\-differentials and the conjugates in two situations related to entropy minimization, and we study a concrete example met in Statistical Physics.

研究の動機と目的

• 通常は形式的ラグランジュ乗数法によって解かれる統計物理学におけるエントロピー最小化問題を、厳密に取り扱うため。
• X. Y. Zheng（1998年）の凸関数級数の部分微分に関する結果を、局所凸空間へ拡張するため。
• 可算無限個の凸関数の和の共役公式を導出し、ムーレの定理を無限和へ一般化するため。
• 理論的結果を具体的な物理モデルに適用するため：離散エネルギー準位を持つ3次元調和振動子。
• 標準的な $ L^p $-空間手法が非有限測度空間のため失敗する状況でも、最大エントロピー分布が一意に達成されることを示すため。

提案手法

• 局所凸空間における集合の正規収束を用いて、凸関数の級数の収束を保証する。
• フェンヒェル＝モーレの定理および共役計算を応用し、可算無限個の凸関数の和の共役を導出する。
• 局所凸空間における凸関数級数の部分微分公式を用い、 Zheng の結果を拡張する。
• エントロピー関数値 $ h(x,y) = e^x [f(y)]^3 $ と $ f(y) = 1 + \sum_{n\geq 2} e^{(n^2-1)y} $ の分析を行い、双対変数における上限を用いて共役を計算する。
• レジェンドル＝フェンヒェル変換を用いて、モーメント制約を満たす確率分布の下での最小エントロピーを、下界畳み込みとして表現する。
• 部分微分条件 $ \partial h(\text{int}(\text{dom} h)) = \text{int}(\text{dom} h^*) $ の検証により、解の最適性および一意性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所凸空間における凸関数級数の部分微分は、どのように特徴付けられるか？
• RQ2 可算無限個の凸関数の和の共役は何か？ そして、ムーレの定理はどのように一般化されるか？
• RQ3 離散エネルギー準位を持つ3次元調和振動子の最大エントロピー分布は、形式的ラグランジュ乗数法に依存せずに厳密に導出可能か？
• RQ4 なぜ標準的な $ L^p $-に基づく手法は、このエントロピー最小化問題に失敗するのか？ そして、凸解析はどのようにこの問題を克服するか？
• RQ5 無限次元のモーメント制約の下で、エントロピー最小化の最小化子の存在および一意性を保証する条件は何か？

主な発見

• エントロピー関数 $ h(x,y) = e^x [f(y)]^3 $ の共役は、$ v \geq 3u > 0 $ に対して $ h^*(u,v) = u(\ln u - 1) + 3u(\ln f)^*(v/(3u)) $ で与えられ、$ u = 0 \leq v $ の場合は $ h^*(u,v) = 0 $、それ以外の場合は $ \infty $ である。
• 最小エントロピーは、$ (\overline{u}_{k,l,m}) = \frac{u}{[f(y)]^3} e^{(k^2+l^2+m^2)y} $ で一意に達成され、ここで $ y < 0 $ は $ v/u = 3f'(y)/f(y) $ を満たす。$ (u,v) \in \text{int}(\text{dom} h^*) $ の場合に成立する。
• $ v = 3u \geq 0 $ の場合、最小化子は一意であり、$ u_{1,1,1} = u $、他の $ u_{k,l,m} = 0 $ に対応する。解構造における急激な遷移が示される。
• $ v = 3u $ の解は、形式的ラグランジュ乗数法では得られず、厳密な凸解析の必要性を強調する。
• 関数 $ h $ の部分微分は $ \partial h(\text{int}(\text{dom} h)) = \text{int}(\text{dom} h^*) $ を満たし、最小化子の最適性および一意性が確認される。
• 基礎となる測度空間の全測度が無限大である非-$ L^p $-空間設定においても、ボルワイヒン型の手法の制限を越えて、本手法は有効である。