[論文レビュー] Series Representation of the Modified Bessel Functions

K. Maślanka|ArXiv.org|Apr 12, 2001

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特にリーマン・リウヴィル形式を用いた分数階微分を用いて、修正ベッセル関数 $ K_\alpha $ の新しいべき級数表現を導出する。$ K_\alpha $ を指数関数およびべき関数の分数階微分として表現することで、$ V_k^{(-1)} $ 多項式に基づくものと $ V_k^{(-1/2)} $ に基づくものという2つの新しい超幾何級数に類似した級数展開を構成する。両者とも、カムマーの逐次超幾何関数に類似したポッヒハマー記号の比を示し、$ K_\alpha(z) $ に収束する。

ABSTRACT

Some power series representations of the modified Bessel functions (McDonald functions $K_α$) are derived using the relatively little known formalism of fractional derivatives. The resulting summation formulae are believed to be new.

研究の動機と目的

• 修正ベッセル関数 $ K_\alpha $ の新しいべき級数表現を導出すること、特に非整数順位の場合を対象とする。
• 分数階微分、特にリーマン・リウヴィル分数階微分の有用性が特殊関数の級数展開を生成する方法を探ること。
• $ V_k^{(\alpha)}(z) $ の多項式族を定義し、指数型関数の分数階微分を表現するためのツールとして分析すること。
• 定積分 $ \exp(-\beta/t) $ を含む表現と、修正ベッセル関数との間の関係を、分数階微分の解釈を通じて確立すること。
• 一般化二項係数およびポッヒハマー記号を用いて導出された明示的な係数を持つ、$ K_\alpha(z) $ の超幾何級数に類似した級数展開を生み出すこと。

提案手法

• 負の $ s $ に対してリーマン・リウヴィル分数階微分の定義を用い、整数階微分との合成により $ s \geq 0 $ に拡張する。
• 積の分数階微分に対するライブニッツ則を適用し、ガンマ関数を用いて定義される一般化二項係数 $ \binom{s}{j} $ を用いる。
• 多項式 $ V_k^{(\alpha)}(z) = x^k \exp(\beta x^\alpha) \partial_x^k \exp(-\beta x^\alpha) $ を導入し、$ z = \beta x^\alpha $ における多項式であることが証明され、係数 $ A_{kj}^{(\alpha)} $ はガンマ関数の比を含む。
• 分数階微分の積の法則と分数階微分のべき関数則を用いて、$ x^\nu \exp(-\beta x^\alpha) $ の分数階微分を導出し、式 (9) を得る。
• 既知の積分表現 (4) および (5) に分数階微分の式を代入することで、$ K_s(z) $ の2つの新しい級数展開（(10) および (11) と呼ぶ）が得られる。
• 係数をポッヒハマー記号 $ (a)_k $ の形に書き直すことで、級数を超幾何級数に類似した形に変換し、逐次超幾何関数 $ {}_1F_1 $ に類似した構造を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階微分を用いて、修正ベッセル関数 $ K_\alpha(z) $ の新しい級数展開を導出できるか？
• RQ2 $ V_k^{(\alpha)}(z) $ の構造は何か？また、$ \exp(-\beta x^\alpha) $ の分数階微分からどのように生じるか？
• RQ3 積分表現 (4) および (5) は、$ \exp(-\beta/x) $ および $ \exp(-\beta/\sqrt{x}) $ の分数階微分とどのように関係しているか？
• RQ4 得られた $ K_s(z) $ の級数展開は、ポッヒハマー記号の比を用いて超幾何級数に類似した形に表現できるか？
• RQ5 導出された級数展開の収束性および明示的な係数構造は何か？

主な発見

• 修正ベッセル関数 $ K_s(z) $ は、超幾何級数に類似した級数として表現される：$ K_s(z) = 2^{s-1}\Gamma(s)z^{-s}\exp(-z)\left[1 + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\frac{1}{2}-s)_k}{(\frac{1}{2}+s)_k} \sum_{j=1}^{k} \binom{k-1}{j-1} \frac{(-2z)^j}{j!} \right] $。これは $ V_k^{(-1)} $ 多項式族から導出される。
• 2番目の級数展開は $ V_k^{(-1/2)}(z) $ を用いて導出され、$ K_s(z) = 2^{s-1}\sqrt{\pi} \frac{\Gamma(2s)}{\Gamma(\frac{1}{2}-s)} z^{-s} \exp(-z) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{\Gamma(k + \frac{1}{2} - s)}{\Gamma(k + \frac{1}{2} + s)} V_k^{(-1/2)}(z) $ となる。これは $ \text{Re}(s) > -\frac{1}{2} $ の範囲で有効である。
• $ V_k^{(-1)} $ 多項式の係数は明示的に $ A_{kj}^{(-1)} = \frac{(-1)^{k+j}}{(k-j)!} \frac{k!(k-1)!}{j!(j-1)!} $ と与えられ、多項式の性質が確認され、正確な級数計算が可能である。
• $ x^\nu \exp(-\beta x^\alpha) $ の分数階微分は $ x^{\nu - s} \frac{\Gamma(\nu+1)}{\Gamma(-s)} \exp(-\beta x^\alpha) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{\Gamma(k - s)}{\Gamma(k - s + \nu + 1)} V_k^{(\alpha)} $ と導出され、本手法の核心をなす。
• 積分表現 (4) および (5) は、分数階微分として再解釈され、$ \partial_x^s [x^{2s} \exp(-\beta/x)] = \frac{\beta^{s+1/2}}{\sqrt{\pi x}} \exp(-\beta/(2x)) K_{s+1/2}(\beta/(2x)) $ と表現され、$ K_\nu $ と直接関連づけられる。
• 得られた級数展開は、ポッヒハマー記号の比 $ \frac{(\frac{1}{2}-s)_k}{(\frac{1}{2}+s)_k} $ が存在するため、「超幾何級数に類似した」と呼ばれる。これは、逐次超幾何関数 $ {}_1F_1 $ の構造に類似している。