[論文レビュー] Series representations of the remainders in the expansion for certain trigonometric and hyperbolic functions with applications

C.-P. Chen, R. B. Paris|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2016

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 20被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、三角関数および双曲線関数のテイラー展開における剰余項の明示的級数表現を、積分および無限級数の恒等式を用いて導出する。主な貢献は、ベルヌーイ数およびオイラー数との関係と剰余項の漸近的解析を通じて得られる、最良の定数を有するきわめて鋭い不等式の確立である。

ABSTRACT

In this paper, we present series representations of the remainders in the expansions for certain trigonometric and hyperbolic functions. By using the obtained results, we establish some inequalities for trigonometric and hyperbolic functions.

研究の動機と目的

• tan t、tanh t、sec t のテイラー展開における剰余項の明示的級数表現を導出すること。
• 導出された剰余項表現を用いて、三角関数および双曲線関数に対する鋭い不等式を確立すること。
• 特に sec t および tan t に対して、これらの不等式における最良の定数を特定すること。
• 従来の sech t および coth t の展開における剰余項に関する結果を、類似の手法を用いて新しい関数へと拡張すること。
• 剰余項の解析を通じて、ガンマ関数の比を含む不等式の厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 既知の部分分数展開から導かれる、tan t = ∑_{k=1}^∞ 8t / (π²(2k−1)² − 4t²) という無限級数恒等式を用いる。
• 幾何級数展開 1/(1−q) = ∑_{j=0}^{N−1} q^j + q^N/(1−q) を適用し、剰余項を多項式部と残差部に分解する。
• 奇数整数に関する和の既知の恒等式 ∑_{k=1}^∞ 1/(2k−1)^{2n} = (2^{2n}−1)π^{2n}|B_{2n}|/(2·(2n)!) を用い、ベルヌーイ数と関連付ける。
• トライガマ関数 ψ′(z) の相反性および再帰的性質を用いて、∑_{k=N+2}^∞ 1/(4k²−1)² の級数恒等式を証明する。
• 不等式 4^{n+1}/π^{2n+1}(1+3^{-1-2n}) < |E_{2n}|/(2n)! < 4^{n+1}/π^{2n+1} を用いて、オイラー数 |E_{2n}|/(2n)! に対する境界を適用し、鋭さを確立する。
• 解析接続および級数項の符号解析を用いて、tanh t および sec t の剰余表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 tan t および tanh t のテイラー展開における剰余項の正確な級数表現は何か？
• RQ2 剰余項をどのように評価すれば、sec t および tan t に対する鋭い不等式を得られるか？
• RQ3 sec t の展開における剰余項を含む不等式における最良の定数は何か？
• RQ4 導出された剰余表現は、古典的な不等式 Becker–Stark よりどのように改善されるか？
• RQ5 特殊関数および数列を用いて、その剰余構造を他の三角関数および双曲線関数へ一般化できるか？

主な発見

• tan t の剰余は、|t| < π/2 に対して ϑ_N(t) = (2^{2N+3}t^{2N+1}/π^{2N}) × ∑_{k=1}^∞ 1/[(2k−1)^{2N}(π²(2k−1)²−4t²)] として表され、有効である。
• tan t に対して、0 < t < π/2 において不等式 1 + (32t²)/(π²(π²−4t²)) + (32t²(π⁴/96−1))/π⁴ < tan t/t < 1 + (32t²)/(π²(π²−4t²)) + (8t²(5−π²/2))/π⁴ が成り立ち、Becker–Stark よりも改善されている。
• tanh t の展開における剰余は、すべての実数 t に対して τ_N(t) = (−1)^N × (2^{2N+3}t^{2N+1}/π^{2N}) × ∑_{k=1}^∞ 1/[(2k−1)^{2N}(π²(2k−1)²+4t²)] として表され、有効である。
• sec t に対しては、0 < x < π/2 において不等式 |E_{2N}|/(2N)! < (sec x − s_N(x))/(x^{2N−1} tan x) < (2/π)^{2N−1} が成り立ち、両端の定数が最良である。
• 極限 lim_{x→0} (sec x − s_N(x))/(x^{2N−1} tan x) = |E_{2N}|/(2N)! および lim_{x→π/2} = (2/π)^{2N−1} が確認され、境界の鋭さが裏付けられている。
• 本稿では、数学的帰納法およびトライガマ関数の再帰的性質を用いて、恒等式 ∑_{k=N+2}^∞ 1/(4k²−1)² = (1/8)ψ′(N+3/2) − (N+2)/(2(2N+3)²) を証明している。