[論文レビュー] Series representations of the Riemann and Hurwitz zeta functions and series and integral representations of the first Stieltjes constant

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、一般化されたベルヌーイ数（ノーリュンド多項式）を用いて、リーマン・ゼータ関数およびヒルベルト・ゼータ関数の新しい級数表現を提示し、複素平面全体への解析接続を可能にする。主な貢献として、第一のステルツェス定数 $\gamma_1(a)$ に対する新しい積分および級数表現が得られ、リュービンシュタインらの先行研究を統合・拡張する。

ABSTRACT

We develop series representations for the Hurwitz and Riemann zeta functions in terms of generalized Bernoulli numbers (Nörlund polynomials), that give the analytic continuation of these functions to the entire complex plane. Special cases yield series representations of a wide variety of special functions and numbers, including log Gamma, the digamma, and polygamma functions. A further byproduct is that $ζ(n)$ values emerge as nonlinear Euler sums in terms of generalized harmonic numbers. We additionally obtain series and integral representations of the first Stieltjes constant $γ_1(a)$. The presentation unifies some earlier results.

研究の動機と目的

• 一般化されたベルヌーイ数（ノーリュンド多項式）を用いて、ヒルベルト・ゼータ関数およびリーマン・ゼータ関数の級数表現を開発し、複素平面全体への解析接続を実現すること。
• 本研究の枠組みを用いて、第一のステルツェス定数 $\gamma_1(a)$ に対する新しい級数および積分表現を導出することにより、リュービンシュタインらの最近の結果を統合・拡張すること。
• $\zeta(n)$ の値が、一般化された調和数を含む非線形オイラー和として現れることを示すこと。
• 同じ枠組みを用いて、ディガママ関数、ポリガママ関数、および対数ガンマ関数といった特殊関数の統一的級数表現を提供すること。

提案手法

• 関係式 $\zeta(s,a) = \frac{\Gamma(a)}{\Gamma(s-1)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{B_k^{(s+k-1)}}{s+k-1} \frac{\Gamma(s+k-1)}{\Gamma(s+k+a-1)}$ を用いて、$\zeta(s,a)$ の級数表現を一般化されたベルヌーイ数 $B_k^{(s+k-1)}$ で表す。
• 生成関数 $\left(\frac{z}{e^z - 1}\right)^\alpha e^{xz} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n^{(\alpha)}(x) \frac{z^n}{n!}$ を用いて、級数の係数を表現する。
• 積分表現 $\psi^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} n! \zeta(n+1,x)$ を適用し、ゼータ関数とポリガママ関数を結びつける。
• $\zeta(s,a)$ の $s=1$ の周りにおけるローラン展開を分析することで、$\gamma_1(a)$ の積分形を導出する。この際、$\zeta(s,a)$ の級数表現を活用する。
• ポッヒャーマー記号の微分を用いて定義される一般化された第一種スターリング数 $s(\lambda,k)$ を用いて、調和数の恒等式を表現する。
• 関数方程式や既知の恒等式（例：$\psi'(x+1) = \psi'(x) - 1/x^2$）を積分および級数の恒等式を用いて検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト・ゼータ関数 $\zeta(s,a)$ は、一般化されたベルヌーイ数を用いてどのように表現可能か。これにより、複素平面全体への解析接続が達成されるか。
• RQ2 本研究の枠組みを用いて、第一のステルツェス定数 $\gamma_1(a)$ に対して、どのような新しい積分および級数表現が得られるか。
• RQ3 $\zeta(n)$ の値は、一般化された調和数を含む非線形オイラー和とどのように関係するか。
• RQ4 本アプローチは、リュービンシュタインによる $\gamma_1(a)$ の研究をどのように統合・拡張するか。
• RQ5 ディガママ関数およびポリガママ関数は、この級数フレームワークを用いて体系的に表現可能か。

主な発見

• 本稿では、$\zeta(s,a)$ に対する新しい級数表現を導出：$\zeta(s,a) = \frac{\Gamma(a)}{\Gamma(s-1)} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{B_k^{(s+k-1)}}{s+k-1} \frac{\Gamma(s+k-1)}{\Gamma(s+k+a-1)}$。$s \neq 1$ および $\operatorname{Re} a > 0$ に対して有効であり、解析接続を可能にする。
• リーマン・ゼータ関数に対しては、$\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \frac{1}{s-1} + \frac{1}{\Gamma(s-1)} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} \frac{B_k^{(s+k-1)}}{(s+k-1)^2}$ となる。
• 第一のステルツェス定数 $\gamma_1(a)$ は、$\zeta(s,a)$ の級数展開から導かれた新しい積分表現で表され、以前の結果を包含・一般化する。
• トリガママ関数は $\psi'(x) = \Gamma(x) \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k!}{k+1} \frac{1}{\Gamma(x+k+1)}$ を満たし、既知の関数方程式 $\psi'(x+1) = \psi'(x) - 1/x^2$ を回復する。
• 本稿では、整数 $n \geq 2$ に対して $\zeta(n)$ が非線形オイラー和として現れることを示す：$\zeta(n) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{H_k^{(n-1)}}{k^n}$。ここで $H_k^{(r)}$ は一般化された調和数である。
• 新しい積分恒等式が確立された：$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k! H_k}{(x)_{k+2}} = \frac{1}{2} \int_0^1 t^{x-1} \ln^2 t \, dt = \frac{1}{x^3}$。これは四ガママ関数の関数方程式を確認する。